Question

Mientras su hermano Brayan está sentado en un caballo de madera en la orilla de un carrusel, Kimberly monta su bicicleta de forma paralela a la orilla. El caballo tiene una rapidez tangencial de 6 m/s. Kimberly monta a 4 m/s. El radio del carrusel es 8 m. ¿En qué intervalos de tiempo Kimberly se encuentra a su hermano, si ella monta en la misma dirección que la rotación del carrusel? ¿En qué intervalos de tiempo Kimberly se encuentra a su hermano, si ella monta en la dirección opuesta a la rotación del carrusel?

Answer 1

Si Kimberly monta en la misma dirección del carrusel se encuentra con Brayan cada 25,1 segundos, mientras que si monta en la dirección contraria se lo encuentra cada 5,03 segundos.

Explicación:

Para resolver el ejercicio podemos parametrizar ambos movimientos circulares de 8 metros de radio donde la pulsación angular es:

$w_B=\frac{v_B}{r}=\frac{6m/s}{8m}=0,75s^{-1}\\\\w_K=\frac{v_K}{r}=\frac{4m/s}{8m}=0,5s^{-1}$

Si Kimberly y Brayan rotan en la misma dirección, los movimientos pueden parametrizarse en función del tiempo como:

$(x,y)_k=\left \{ {{x=r.cos(w_kt)} \atop {y=r.sen(w_k.t)}} \right. \\\\(x,y)_B=\left \{ {{x=r.cos(w_Bt)} \atop {y=r.sen(w_B.t)}} \right.$

Si aplicamos congruencia de ángulos podemos introducir la cantidad de vueltas n:

$(x,y)_k=\left \{ {{x=r.cos(w_kt+2\pi n_K)} \atop {y=r.sen(w_k.t+2\pi n_K)}} \right. \\\\(x,y)_B=\left \{ {{x=r.cos(w_Bt+2\pi n_B)} \atop {y=r.sen(w_B.t+2\pi n_B)}} \right.$

Y ahora igualamos las dos posiciones en el eje  'x' ya que tanto Brayan como Kimberly deben encontrarse en la misma posición angular:

$r.cos(w_Kt+2n_K\pi)=r.cos(w_Bt+2n_B\pi)\\\\cos(w_Kt+2n_K\pi)=cos(w_Bt+2n_B\pi)\\\\w_Kt+2n_K\pi=w_Bt+2n_B\pi\\\\t=\frac{2\pi(n_B-n_K)}{w_K-w_B}$

Donde nB y nK son el número de vueltas completas de Brayan y de Kimberly respectivamente y son números enteros, así queda:

$t=\frac{2\pi(n_B-n_K)}{w_K-w_B}\\\\t=\frac{2\pi(0-1)}{0,5-0,75}=25,1s\\\\t=\frac{2\pi(1-2)}{0,5-0,75}=25,1s\\\\...$

Así tenemos que Kimberly y Brayan se encuentran cada 25,1 segundos, podemos hacer lo mismo igualando las posiciones en el eje 'y' para llegar al mismo resultado.

Ahora si Kimberly monta en dirección contraria al carrusel tenemos que uno de los dos va a ir en el otro sentido, teniendo posiciones angulares negativas:

$(x,y)_k=\left \{ {{x=r.cos(-w_kt+2\pi n_K)} \atop {y=r.sen(-w_k.t+2\pi n_K)}} \right. \\\\(x,y)_B=\left \{ {{x=r.cos(w_Bt+2\pi n_B)} \atop {y=r.sen(w_B.t+2\pi n_B)}} \right.$

Igualamos las posiciones angulares para encontrar los tiempos de encuentro:

$-w_K.t+2n_K\pi=w_B.t+2n_B\pi\\\\w_Bt+w_Kt=2n_K\pi-2n_B\pi\\\\t=\frac{2\pi(n_K-n_B)}{w_B+w_K}\\\\t=-\frac{2\pi(1-0)}{0,75+0,5}=5,03s\\\\t=-\frac{2\pi(2-1)}{0,75+0,5}=5,03s\\\\...$