Question

mientras dos astronautas del Apolo estaban en la superficie de la luna, un tercer astronauta daba vueltas a su alrededor, suponga que la orbita es circular y se encuentra a 100Km sobre la superficie de la luna. si el radio de la luna es 1,7 x 106m, determine: a) la aceleracion del astronauta en orbita b) su rapidez orbita(velocidad tangencial) c) el periodo de la orbita. ayudenme!!... plis.​

Answer 1

Si un cuerpo puede mantener una órbita alrededor de otro es porque la fuerza centrípeta compensa a la atracción gravitatoria, la fuerza centrípeta se define como:

$F_c=m.\frac{v^2}{r}$

Y es propia del movimiento circular. m es la masa del objeto que está girando, v su velocidad y r el radio de la trayectoria. Nos queda:

$m\frac{v^2}{r}=G\frac{M_L.m}{r^2}$

Donde ML es la masa de la luna y G la constante de gravitación universal. Operando queda:

$\frac{v^2}{r}=G\frac{M_L}{r^2}$

Esta expresión se utilizará como ecuación maestra.

La masa de la luna es $7,35x10^{22}kg$. Y el segundo miembro de esta última expresión es la aceleración gravitatoria que sufre el astronauta en órbita, que tiene que igualar a la centrípeta que es la del primer miembro.

a) Así pues, la aceleración centrípeta, por lo expuesto es (el radio lunar y la altura sobre la superficie de la Luna se suman para dar el radio de la órbita):

$r=r_L+h=1,7x10^6m+1x10^{5}m=1,7x10^6m+0,1x10^{6}m=1,8x10^{6}m\\\\a=G.\frac{M_L}{r^2}=6,674x10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\frac{7,35x10^{22}kg}{(1,8x10^{6}m)^2} =1,51\frac{m}{s^2}$

Tanto la aceleración centrípeta como la gravitatoria son $1,51\frac{m}{s^2}$ mientras que la aceleración tangencial es 0, porque para mantenerse en órbita la velocidad tiene que ser constante.

b) La velocidad tangencial la podemos despejar de la ecuación maestra elegida:

$\frac{v^2}{r}=G\frac{M_L}{r^2}\\\\v^2=G\frac{M_L}{r}\\\\v=\sqrt{G\frac{M_L}{r}}= \sqrt{6,674x10^{-11}\frac{7,35x10^{22}}{1,8x10^6m}}=1,65\frac{km}{s}$

Nos queda que el astronauta en órbita viaja a 1,65km/s.

c) Vuelvo a plantear la ecuación maestra elegida:

$\frac{v^2}{r}=G\frac{M_L}{r^2}$

Tengo que:

$v=\frac{2\pi r}{T}$

Donde T es el periodo, lo reemplazo en la primera ecuación:

$\frac{4\pi^2r^2}{rT^2}=G\frac{M_L}{r^2}$

Despejo el periodo y queda:

$T=\sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM_L}}=\sqrt{\frac{4\pi^2(1,8x10^{6}m)^3}{6,674x10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}.7,35x10^{22}kg}}=6851s.$

O traducido a horas:

$T(h)=\frac{6851}{3600}= 1,9hr.$

Con lo cual, el período de la órbita es 1,9 horas.