Question

mi amiga en su patio tiene un árbol frutal que está inclinado a 40° respecto al piso . Cierto día decidimos bajar una fruta así que para obtenerla colocamos una escalera de 15 mts inclinada a 48° respecto al piso con el afán que llegara a la copa del árbol.Respecto a los datos,calcula cuánto mide el árbol y cuál es la distancia entre la base del árbol y la escalera ​

Answer 1

La altura del árbol inclinado es de aproximadamente 17.34 metros

La distancia entre la base del árbol inclinado y el pie de la escalera es de aproximadamente 23.32 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo obtusángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Representamos la situación en un triángulo obtusángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la altura del árbol frutal inclinado, el lado BC (b) que equivale a la longitud de la escalera que se coloca para llegar a la copa del árbol - de la cual conocemos su dimensión- y el lado AB (c) que es la distancia entre la base del árbol y el pie de la escalera. Donde el árbol tiene una inclinación de 40° y la escalera que se coloca para alcanzar la copa del árbol tiene una inclinación de 48° con respecto al plano del suelo respectivamente

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo ABC

Denotamos al ángulo de inclinación del árbol dado por enunciado de 40° como α al cual colocamos en el vértice A

$\large\boxed {\bold { \alpha = 40^o }}$

Denotamos al ángulo de inclinación de la escalera dado por enunciado de 48° como β al cual ubicamos en el vértice B

$\large\boxed {\bold { \beta = 48 ^o }}$

Hallamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Dado que la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°:

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 40^o+ 48^o + \gamma }}$

$\boxed {\bold { \gamma= 180^o - 40^o- 48^o }}$

$\large\boxed {\bold { \gamma = 92 ^o }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Calculamos la altura del árbol inclinado

Hallando el valor del lado AC (b)

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 15 \ metros }{ sen(40^o ) } = \frac{ b }{sen(48 ^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 15 \ metros \ . \ sen(48^o ) }{sen(40^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 15 \ metros \ . \ 0.743144825477 }{0.642787609687 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 11.147172382155 }{ 0.642787609687 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { b\approx 17.341921 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 17.34 \ metros }}$

La altura del árbol inclinado es de aproximadamente 17.34 metros

Calculamos la distancia entre la base del árbol y la escalera

Hallando el valor del lado AB (c)

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 15 \ metros }{ sen(40^o ) } = \frac{ c }{sen(92 ^o) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 15 \ metros \ . \ sen(92^o ) }{sen(40^o) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 15 \ metros \ . \ 0.999390827019 }{0.642787609687 } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 14. 990862405285 }{ 0.642787609687 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { c\approx 23.321641 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { c \approx 23.32 \ metros }}$

La distancia entre la base del árbol inclinado y el pie de la escalera es de aproximadamente 23.32 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas