Matemáticas, pregunta formulada por Jobno, hace 1 año

MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

Solución Ecuaciones Diferenciales por series de potencia. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de series de potencia

y'=2xy

Adjuntos:

Respuestas a la pregunta

Contestado por mafernanda1008
0

La solución de la serie de potencia y'= 2xy es y =Ce^{x^{2}}

Resolver una ecuación diferencial como una serie de potencia, es escribir la misma de la forma:

1. y = \sum C_{n} x^{n};n=0,1,2,...

Si derivamos la ecuación:

2. y' = \sum n*C_{n} x^{n-1};n=0,1,2,...

Tenemos que

y'= 2xy

Sustituyendo 1 y 2 en 3:

\sum n*C_{n} x^{n-1};n=0,1,2,... =  2x\sum C_{n} x^{n};n=0,1,2,...

\sum n*C_{n} x^{n-1};n=0,1,2,... =  2\sum C_{n} x^{n+1};n=0,1,2,...

0*C_{0}x^{0-1}+1*C_{1}x^{1-1}+ \sum n*C_{n} x^{n-1;n=2,3,4,... =  2\sum C_{n} x^{n+1};n=0,1,2,...

C_{1}+ \sum n*C_{n} x^{n-1};n=2,3,4,... =  2\sum C_{n} x^{n+1};n=0,1,2,...

Usando la ecuación:

\sum f(n);  n= k,k+1,k+2,... =\sum f(n+k) ;n =0,1,2,...

C_{1}+ \sum (n+2)*C_{n+2} x^{n+1} -2\sum C_{n} x^{n+1}=0; n=0,1,2,...

C_{1}+ \sum ((n+2)*C_{n+2}-2C_{n}) x^{n+1}=0; n=0,1,2,...

Igualamos los coeficientes a 0

C_{1}=0

(n+2)*C_{n+2}-2C_{n}=0;

C_{n+2} = \frac{2C_{n}}{n+2}

Comenzamos a encontrar los coeficientes:

C_{2} = \frac{2C_{0}}{2}

C_{3} = \frac{2C_{1}}{3} = 0

C_{4} = \frac{2C_{2}}{4}= \frac{C_{0}}{2}

C_{5} = \frac{2C_{3}}{5} = 0

C_{6} = \frac{2C_{4}}{6} = \frac{C_{0}}{6}

C_{8} = \frac{2C_{6}}{8} = \frac{C_{0}}{24}

Si nos fijamos:

  • Para n = 2k+1 (impar)

C_{n} = 0

  • Para n = 2k

C_{n} = C_{2k}=\frac{C_{0}}{k!}

Por lo tanto la serie de potencia nos queda como:

\sum \frac{C_{0}x^{2k}}{k!}; k = 0,1,2,...

\sum \frac{C_{0}x^{2}^k}{k!}; k = 0,1,2,...

Ahora hay una ecuación que nos dice:

eⁿ = ∑ vⁿ/n!

En este caso v = x²

Tenemos que:

y =C_{0} e^{x^{2}}

Donde C₀ es una constante llamemosla C

y =Ce^{x^{2}}

Otras preguntas