Question

¿MEJOR RESPUESTA SI ME AYUDAN A RESOLVER ESTO PASO A PASO?

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

$\int\limits^4_1 {xe^{x}+sen^{2}x-\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}+\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx$

$\int\limits^4_1 {xe^{x}} \, dx + \int\limits^4_1{sen^{2}x} \, dx - \int\limits^4_1{\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}} \, dx + \int\limits^4_1{\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx$

Una vez hecho esto, se puede resolver individualmente cada integral, así que comenzamos con la primera:

$\int\limits^4_1 {xe^{x}} \, dx$

Usas integración por partes:

$u=x,\ dv=e^{x}dx$

$du=dx,\ v=e^{x}$

$\int\limits^4_1 {xe^{x}} \, dx=xe^{x}|\limits^4_1-\int\limits^4_1 {e^{x}} \, dx$

$(4e^{4}-e^{1})-e^{x}|\limits^4_1$

$4e^{4}-e^{1}-(e^{4}-e^{1})$

$4e^{4}-e^{1}-e^{4}+e^{1}$

$3e^{4}$

entonces $\int\limits^4_1 {xe^{x}} \, dx=3e^{4}$

Vamos a la segunda:

$\int\limits^4_1{sen^{2}x} \, dx$

El $sen^{2}x$ se puede reemplazar por $\frac{1-cos(2x)}{2}$

$\int\limits^4_1{sen^{2}x} \, dx=\int\limits^4_1{\frac{1-cos(2x)}{2}} \, dx$

$\int\limits^4_1{\frac{1-cos(2x)}{2}} \, dx=\int\limits^4_1{\frac{1}{2}} \, dx - \int\limits^4_1{\frac{cos(2x)}{2}} \, dx$

$\frac{1}{2}\int\limits^4_1{1} \, dx - \frac{1}{2}\int\limits^4_1{cos(2x)} \, dx$

Si haces $u=2x,\ du=2dx$ para la segunda integral

$\frac{1}{2}x|\limits^4_1 - \frac{1}{2}\int\limits^4_1{cos(u)} \, \frac{du}{2}$

$\frac{1}{2}(4-1) - \frac{1}{4}\int\limits^4_1{cos(u)} \, du$

$\frac{3}{2} - \frac{1}{4}senu|\limits^4_1$

$\frac{3}{2}-\frac{sen(4)}{4}+\frac{sen(1)}{4}$

entonces $\int\limits^4_1 {sen^{2}x} \, dx$≅$1.48$

La tercera:

$\int\limits^4_1{\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}} \, dx$

Hacemos un reemplazo: $u=x+2,\ du=dx$

Con ese cambio sabrías que $x=u-2$

$\int\limits^4_1{\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}} \, dx=\int\limits^4_1{\frac{3(u-2)+1}{u^{2}}} \, du$

$\int\limits^4_1{\frac{3u-6+1}{u^{2}}} \, du$

$\int\limits^4_1{\frac{3u-5}{u^{2}}} \, du$

$\int\limits^4_1{\frac{3u}{u^{2}}-\frac{5}{u^{2}}} \, du$

$\int\limits^4_1{\frac{3}{u}} \, du - \int\limits^4_1{5u^{-2}} \, du$

$3\int\limits^4_1{\frac{1}{u}} \, du - 5\int\limits^4_1{u^{-2}} \, du$

La primera se hace con logaritmo natural

$3ln(u)|\limits^4_1-5\frac{u^{-1}}{-1}|\limits^4_1$

$3ln(x+2)|\limits^4_1+5\frac{1}{x+2}|\limits^4_1$

$3(ln(4+2)-ln(1+2))+5(\frac{1}{4+2}-\frac{1}{1+2})$

$3(ln(6)-ln(3))+5(\frac{1}{6}-\frac{1}{3})$

entonces $\int\limits^4_1{\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}} \, dx$≅$1.246$

La cuarta:

$\int\limits^4_1{\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx$

Hacemos el siguiente reemplazo: $u^{2}=25-x^{2},\ 2udu=-2xdx$

Eso implica que $-udu=xdx$

$\int\limits^4_1{\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx=\int\limits^4_1{\frac{-u}{\sqrt{u^{2}}}} \, du$

$-\int\limits^4_1{\frac{u}{u}} \, du$

$-\int\limits^4_1{1} \, du$

$-u|\limits^4_1$

$-\sqrt{25-x^2}|\limits^4_1$

$-\sqrt{25-4^2}+\sqrt{25-1^2}$

entonces $\int\limits^4_1{\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx$≅$1.9$

De manera que la respuesta final es

$3e^{4}+1.48-1.246+1.9$≅$165.9$