Question

Me pueden ayudar:

Demostrar que la ecuación 4x^2+ 9y^2+ 32x - 18y + 37=0 es una elipse y determinar: las coordenadas del centro, las coordenadas de los vértices, las coordenadas del foco y graficar en el plano cartesiano con la ayuda de GeoGebra.

Answer 1

Las coordenadas del centro de la elipse:

c (-4, 1)

Las coordenadas del vértice de la elipse:

A(-1, 1) ; A'(-7, 1)

Las coordenadas del foco de la elipse:

F(-4+√5, 1)  ; F'(-4-√5, 1)

Ver la imagen.

Explicación:

Datos;

4x²+ 9y²+ 32x - 18y + 37=0

La ecuación ordinaria de una elipse tiene la siguiente forma:

$\frac{(x-x_0)^{2} }{a^{2}} +\frac{(y-y_0)^{2} }{b^{2}} = 1$

Ec. general:

4x²+ 9y²+ 32x - 18y + 37=0

Agrupar;

4x²+ 32x +  9y²- 18y =- 37

Aplicar binomio cuadrado perfecto;

(a±b)² = a²±2ab+b²

4x²+ 32x + ()

2ab = 32

a = 2

b = 32/2(2) = 8

Sustituir;

4x²+ 32x + 68 = 4(x+4)²

9y²- 18y + ()

2ab = 18

a = 3

b = (18)/2(3) = 3

sustituir;

9y²- 18y + 9 = (y-1)²

Sumar 64 y 9 a ambos lados;

4x²+ 32x +64+  9y²- 18y+9 =- 37+64+9

4(x+4)² + 9(y-1)² = 36

multiplicar por (1/36) a ambos lados;

(x+4)²/9 + (y-1)²/4 = 1

siendo;

a² = 9 ⇒ a = 3

b² = 4 ⇒ b = 2

c = √9-4 = √5

Centro:

c (-4, 1)

vértices:

A(-4+a, 1) = A(-4+3, 1)  = A(-1, 1)

A'(-4-a, 1) = A'(-4-3, 1) = A'(-7, 1)

Focos;

F(-4+c, 1) = F(-4+√5, 1)  

F'(-4-c, 1) = F'(-4-√5, 1)