Matemáticas, pregunta formulada por juliocesarneyrpedgvh, hace 1 año

me pueden ayudar con este ejercicio por favor?
con solución por favor, paso a paso.

Adjuntos:

Mainh: ¿Trilce?

Respuestas a la pregunta

Contestado por Mainh
1

¡Buenas!

Tema: Radicación

\mathbf{Problema :}

Sean dos números x e y tal que:

x = \sqrt{3+2\sqrt{2}}

y = \sqrt[6]{8}

Halle el valor de \boldsymbol{E} tal que:

\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}

RESOLUCIÓN

Debemos atacar el problema empezando por un método muy conocido para transformar el valor de x = \sqrt{3+2\sqrt{2}} como suma de dos raíces.

\textrm{Sea :}

\sqrt{\textrm{A} + 2 \sqrt{\textrm{B}}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}

\textrm{Donde :}

\textrm{A} = a + b

\textrm{B} = a \times b

En nuestro caso

\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \\ \\ 3 = a + b \\ \\ 2 = a \times b

No es necesario realizar un procedimiento tedioso para calcular a y b ya que es evidente que a = 2 y b = 1.

Entonces decimos...

x = \sqrt{2} + 1

Con respecto a y decimos: y = \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt{2}

Debemos percatarnos de algo muy interesante y es...

x - y = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 1

Esto es de suma importancia, notemos también que podemos expresar el valor de \boldsymbol{E} de esta forma:

\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{\boldsymbol{(1)}(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}

Reemplazamos este \boldsymbol{(1)} como el valor de x-y.

\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}

Apliquemos entonces la diferencia de cuadrados para reducir la expresión.

\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}

\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x^{4}-y^{4})(x^{4}+y^{4})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}

\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{(x^{8}-y^{8})(x^{8}+y^{8})+y^{16}} - \sqrt{2}

\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{x^{16}-y^{16}+y^{16}} - \sqrt{2}

\boldsymbol{E} = \sqrt[16]{x^{16}} - \sqrt{2}

\boldsymbol{E} = x - \sqrt{2}

\boldsymbol{E} = \sqrt{2} +1 - \sqrt{2}

\boldsymbol{E} = 1

RESPUESTA

\boxed{\boldsymbol{E} = 1}


Otras preguntas