Question

Me pueden ayudar con este ejercicio de racionalizar el denominador y simplificar al maximo.

Answer 1

Hola.

$\frac{ax^2-a^2x}{\sqrt{ax}-a}$

Primero vamos a multiplicar por el conjugado:

$\frac{\sqrt{ax}+a}{\sqrt{ax}+a}$ ----> Este es el conjugado.

$\frac{\left(ax^2-a^2x\right)\left(\sqrt{ax}+a\right)}{\left(\sqrt{ax}-a\right)\left(\sqrt{ax}+a\right)}$

Como ves en el denominador se repite dos veces $\sqrt{ax}$

$\left(\sqrt{ax}-a\right)\left(\sqrt{ax}+a\right) \\ \\ \left(\sqrt{ax}\right)^2-a^2$

Cuando una raíz está elevada al cuadrado, se cancelan la raíz.

$ax-a^2$

Reescribimos:

$\frac{\left(ax^2-a^2x\right)\left(\sqrt{ax}+a\right)}{ax-a^2}$

Arriba podemos factorizar, FACTOR COMÚN:

$ax^2-a^2x=ax\left(x-a\right)$

Reescribimos:

$\frac{ax\left(x-a\right)\left(a+\sqrt{ax}\right)}{-a^2+ax}$

Podemos factorizar en el denominador, lo hacemos, FACTOR COMÚN:

$ax-a^2 = a\left(x-a\right)$

Reescribimos:

$\frac{ax\left(x-a\right)\left(a+\sqrt{ax}\right)}{a\left(x-a\right)}$

Si te das cuenta arriba está "(x-a)" y también está "ax" y abajo también, por tanto, se cancelan.
Ojo: Se cancela una "a" de arriba con la "a" de abajo y (x-a) de arriba con (x-a) de abajo.

$x\left(a+\sqrt{ax}\right)$

Ya no podemos hacer más nada, por tanto...

$\boxed{R: x\left(a+\sqrt{ax}\right)}$

¡Espero haberte ayudado, saludos...!