Question

Me pueden ayudar con este ejercicio ​

Answer 1

Hola, Martin0108:

➤ EJERCICIO

Si a + a⁻¹ = 1, halla a⁶ + a⁻⁶

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➤ SOLUCIÓN

Partimos del dato que nos da el enunciado:

a + a⁻¹ = 1

Las fórmulas para calcular el cubo de un binomio son:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³  

(A + B)³ = A³ + 3AB(A + B) + B³   ✔️

Elevamos al cubo los 2 miembros de la expresión dada, usando la segunda fórmula, donde:

• A = a

• B = a⁻¹

Nos queda:

a³ + 3a(a⁻¹)(a + a⁻¹) + (a⁻¹)³ = 1³

El producto de a y a⁻¹ da 1, ya que:

                 a

a . a⁻¹ = ——— = 1

                 a

Además, según el enunciado del ejercicio, sabemos que:

a + a⁻¹ = 1

Reemplazando, nos queda:

a³ + 3 · 1 · 1  + (a⁻¹)³ = 1

a³ + 3 + (a⁻¹)³ = 1

Pasamos el 3 restando al segundo miembro, pues en el primero está sumando:

a³ + (a⁻¹)³ = 1 – 3

Restamos:

a³ + (a⁻¹)³ = –2

Para resolver una potencia de potencia se multiplican los exponentes:

a³ + a⁻³ = –2

Ahora elevamos los 2 miembros al cuadrado, usando la fórmula para calcular el cuadrado de un binomio:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

donde:  

• A = a³

• B = a⁻³

Nos queda:

(a³)² + 2a³a⁻³ + (a⁻³)² = (–2)²

El producto de a³ y a⁻³ da 1, ya que:

                    a³  

a³ . a⁻³ = ——— = 1

                   a³

Simplificando, queda:

(a³)² + 2 + (a⁻³)² = (–2)²

Resolvemos las potencias de potencias multiplicando los exponentes:

a⁶ + 2 + a⁻⁶ = 4

Pasamos el 2 restando al segundo miembro, ya que en el primero está sumando:

a⁶ + a⁻⁶ = 4 – 2

Resolvemos la resta:

a⁶ + a⁻⁶ = 2

Hemos llegado al resultado buscado:

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a⁶ + a⁻⁶  =  2   ✔️

═══════════

Saludos. ✨

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