Matemáticas, pregunta formulada por AntoMF951, hace 1 año

Me puede ayudar con el 1er ejercicio de ecuaciones diferenciales? es el de yy'=cos x sujeta a la condición y(π/2)=3

Adjuntos:

Respuestas a la pregunta

Contestado por seeker17
0
Tenemos el siguiente ejercicio:

(y)(y')=cos(x)

Pero si recuerdas que:

y'= \frac{dy}{dx}

La notación del apostrofe, la usó Newton, y la otra la usó Leibniz...entonces:

(y)( \frac{dy}{dx} )=cos(x)

Y éstos ya es una ecuación diferencial de variables separables...

(y)(dy)=cos(x)(dx)

Integrando a cada lado:

 \int\limits {y} \, dy=  \int\limits {cos(x)} \, dx

Éstas integrales ya las sabemos verdad?...

 \frac{ y^{2} }{2} =sin(x)+C

pero ya nos dan una condición inicial...usémosla...

Ya condición nos dice:

y( \frac{ \pi }{2} )=3 que es lo mismo que:

f( \frac{ \pi }{2} )=3

donde sabemos que:

x= \frac{ \pi }{2}  \\ y=3 \\  \\ Reemplacemos: \\  \\  \frac{ (3)^{2} }{2} =sin( \frac{ \pi }{2} )+C \\  \\ Pero:sin( \frac{ \pi }{2} )=1 \\  \\  \frac{9}{2} =1+C \\ C= \frac{7}{2}  \\  \\ Finalmente: \\  \\  \frac{ y^{2} }{2} =sin( x)+ \frac{7}{2}

Podemos trabajarle un poco para que se vea mejor...

 y^{2}  =2(sin( x)+ \frac{7}{2}) \\  y^{2} =2sin(x)+7 \\  \sqrt{ y^{2} } = \sqrt{2sin(x)+7}  \\  |y|= \sqrt{2sin(x)+7}  \\  \\ Soluciones: \\ y=- \sqrt{2sin(x)+7}  \\ y=+ \sqrt{2sin(x)+7}

tenemos dos soluciones porque tenemos un valor absoluto una parte negativa y otra positiva
Y creo que hasta ahí está bien...espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
Otras preguntas