Question

¿me podrían dar algunos ejemplos de derivadas con multiplicación? para estudiar

Answer 1

 7.  DERIVADAS DE FUNCIONES

  7.1  Noción de derivada de una función en un punto.

  Sea una función  y = f(x) ,  a partir de ella se puede definir otra función,  y' = f '(x) , llamada "derivada de f(x)", que va a jugar un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal, tal como vamos a ir viendo en éste y en posteriores temas.

  Pero comencemos por la definición de derivada en un cierto punto,  digamos x = xo , de la función  y = f(x) es:

suponiendo que este límite exista (en cuyo caso se dice que f es derivable en xo ). A esta cantidad  h se la llama "incremento de x", en muchas ocasiones se la suele representar como Dx (recuerde por ejemplo en Física el concepto de "incremento de temperatura", etc.),  y puede ser tanto positiva ("incremento positivo") como negativa ("decremento"). 

(ATENCIÓN: Hemos dado la definición de la derivada en un punto , es decir, f'(xo) , lo cual representa un valor numérico.

  EJEMPLO 1:  Para la función  y = x² ,  vamos a hallar su derivada en cierto punto x=a. 

  Según la definición de arriba tendremos:

Observe cómo hemos sustituido en f(a+h) su valor para este ejemplo, (a+h)² ,  así como en f(a) el valor correspondiente, a². Finalmente tenemos que hallar el consiguiente límite que por regla general suele tener la forma indeterminada 0/0, pero nosotros debemos operar en él para eliminar la indeterminación:

  La derivada en el punto x=a de la función x²  es 2a. Es decir, por ejemplo: 

f ' (2)= 2.2 = 4,  
f ' (3)= 2.3 = 6,  
f ' (4)= 2.4 = 8,  
etc.

  Para la función  y = x² , podemos decir que existe derivada en todos sus puntos, posteriormente se define la  función derivada de  y = x² como la función y' = 2 x.