Question

me podrían ayudar con 4tro ecuaciones cuadráticas porfavor ..


- de antemano gracias .​

Answer 1

Grafica las siguientes funciones cuadráticas:

1) y = x² - 5x + 3 [Ver gráfica adjunta]

2) y = 2x² - 5x + 4 [Ver gráfica adjunta]

3) y = x² - 4x + 4 [Ver gráfica adjunta]

4) y = -x² - x  + 3 [Ver gráfica adjunta]

Respuestas:

Vamos a estudiar los puntos importantes de las curvas para dibujarlas.

1) y = x² - 5x + 3

Hallamos los puntos donde la curva corta al eje x, haciendo y = 0:

x² - 5x + 3 = 0

$x=\dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^{2}-4*1*3)}}{2*1} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25-12}}{2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

x₁ = (5+√13)/2 = 5/2 + √13/2 , punto de corte (5/2 + √13/2,0)

x₂ = (5-√13)/2 = 5/2 - √13/2 , punto de corte (5/2 - √13/2,0)

Hallamos el punto donde la curva corta al eje y, haciendo x = 0:  

y = x² - 5x + 3

y = 0² - 5(0) + 3 = 3 , punto de corte (0,3)

Para determinar los máximos y mínimos de la curva, tenemos que hallar la primera derivada de la función y hallar los valores de x que anulan la primera derivada:

y = x² - 5x + 3

y' = 2x -5  

2x - 5 = 0

x = 5/2 , en este valor de x hay un máximo o mínimo de la curva; para saber si es máximo o mínimo tenemos que hallar la segunda derivada:  

y" = 2 > 0 Como es mayor que cero hay un mínimo de la curva

Hallamos el valor de la función para este valor de x:

y = (5/2)² - 5(5/2) + 3

y = 25/4 -25/2 + 3 = 25/4 - 50/4 + 12/4 = (25-50+12)/4 = -13/4  

Mínimo de la curva en punto (5/2,-13/4)

[Ver gráfica adjunta]

2) y = 2x² - 5x + 4

Hallamos los puntos donde la curva corta al eje x, haciendo y = 0:

2x² - 5x + 4 = 0

$x=\dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^{2}-4*2*4)}}{2*2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25-32}}{4} = \dfrac{5 \pm \sqrt{-7}}{4}$

Tenemos un radicando negativo que no produce raíces reales, luego no hay puntos de corte con el eje x

Podemos hallar el punto donde la curva corta al eje y, haciendo x = 0

y = 2x² - 5x + 4

y = 2·0² - 5(0) + 4 = 4 , punto de corte (0,4)

Para determinar los máximos y mínimos de la curva, tenemos que hallar la primera derivada de la función y hallar los valores de x que anulan la primera derivada:

y = 2x² - 5x + 4

y' = 4x -5  4x - 5 = 0

x = 5/4 , en este valor de x hay un máximo o mínimo de la curva; para saber si es máximo o mínimo tenemos que hallar la segunda derivada:

y" = 4 > 0 Como es mayor que cero hay un mínimo de la curva

Hallamos el valor de la función para este valor de x:

y = 2(5/4)² - 5(5/4) + 4

y = 2·25/16 -25/4 + 4 = 50/16 - 100/16 + 64/16 = (50-100+64)/16 = 14/16 = 7/8

Mínimo de la curva en punto (5/4,7/8)

[Ver gráfica adjunta]

3) y = x² - 4x + 4

Hallamos los puntos donde la curva corta al eje x, haciendo y = 0:

x² - 4x + 4 = 0  

$x=\dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2}-4*1*4)}}{2*1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16-16}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{0}}{2}$

x₁ = 4/2 = 2 , punto de corte (2,0)

Hallamos el punto donde la curva corta al eje y, haciendo x = 0

y = x² - 4x + 4

y = 0² - 4(0) + 4 = 4 , punto de corte (0,4)

Para determinar los máximos y mínimos de la curva, tenemos que hallar la primera derivada de la función y hallar los valores de x que anulan la primera derivada:

y = x² - 4x + 4

y' = 2x -4  

2x -4 = 0

x = 4/2 = 2 , en este valor de x hay un máximo o mínimo de la curva; para saber si es máximo o mínimo tenemos que hallar la segunda derivada:

y" = 2 > 0 Como es mayor que cero hay un mínimo de la curva

Hallando el valor de la función para este valor de x:

y = (2)² - 4(2) + 4 = 4 -8 + 4 = 0

Hay un mínimo de la curva en el punto (2,0)

[Ver gráfica adjunta]

4) y = -x² - x  + 3

Podemos hallar los puntos donde la curva corta al eje x, haciendo y = 0 y resolviendo la ecuación de segundo grado:

-x² - x  + 3 = 0

$x=\dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^{2}-4*(-1)*3)}}{2*(-1)} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+12}}{-2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{-2}$

Tenemos dos raíces que solucionan esta ecuación:

x₁ = (1+√13)/-2 = -1/2 - √13/2 , punto de corte (-1/2 - √13/2,0)

x₂ = (1-√13)/-2 = -1/2 + √13/2 , punto de corte (-1/2 + √13/2,0)

Podemos hallar el punto donde la curva corta al eje y, haciendo x = 0

y = -x² - x  + 3 y = -0² - (0) + 3 = 3 , punto de corte (0,3)

Para determinar los máximos y mínimos de la curva, tenemos que hallar la primera derivada de la función y hallar los valores de x que hacen cero la primera derivada:

y = -x² - x  + 3

y' = -2x -1  

-2x -1 = 0

x = 1/-2 = -1/2 , en este valor de x hay un máximo o mínimo de la curva; para saber si es máximo o mínimo tenemos que hallar la segunda derivada:

y" = -2 < 0 Como es menor que cero hay un máximo de la curva

Hallamos el valor de la función para este valor de x:

y = -(-1/2)² - (-1/2) + 3 = -1/4 + 1/2 + 3 = 3 + 1/4 = 13/4

Hay un máximo de la curva en el punto (-1/2,13/4)

[Ver gráfica adjunta]

Michael Spymore