Question

¿me podrán ayudar?
Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de un cascarón de 19cm de ancho y 25cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando hacia arriba.
Calcular el lado del cuadrado por el cuál se obtiene una caja de volúmen máximo.(Primer método para calcular máximos y mínimos de una función).
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Answer 1

Respuesta:

3.5658 cm

Explicación paso a paso:

Te recomendaría que utilices una hoja blanca, suponiendo que el ancho es de 19 cm y el largo de 25 cm, y en cada esquina de esa misma hoja, recorta (traza) un cuadrado de lados "X".

Una vez teniendo los cortes, el ancho de la parte doblada vendría ser igual a: 19 -2X

El largo de la parte doblada vendría ser igual a: 25-2X

Y la altura, pues es X

De allí, podemos calcular el volumen de la caja en función de X

V(X) = Ancho × Largo × Altura

V(X) = (19 -2X) × (25-2X) × X

V(X) = 4X³-88X²+475X

Una vez teniendo el volumen en función de x ó V(X), podemos calcular la derivada para encontrar el valor máximo, dicho de otra manera, el valor de X que hará que el volumen sea máximo.

V'(X) = 12X²-176X+475

Anulando V'(X)

12X²-176X+475 = 0 ; estamos frente a una ecuación de segundo grado, para ello se buscará las raices utilizando el discrimante...

Se encontró dos valores distintos: X' = 3.5658 y X'' = 11.101

Estos dos valores de X son los extremos de la función. Ahora, nos preguntamos cuál de ellos es el máximo y el mínimo?

Podemos ubicarlos utilizando una gráfica estudiando los signos de V'(X), ó también, podemos calcular la imagen de V(X) de las raices y compararlos; es decir, calcular V(3.5658) y V(11.101)

V(3.5658) = 756.19

V(11.101)  = -99.46

De allí, el valor más grande será el máximo, y el valor más pequeño será el mínimo.

Podemos concluir diciendo que: Para tener el mayor volumen posible para la caja, el lado recorte tiene que ser de 3.5658

Saludos,