Question

me pide realizar el solido y obtener sus tres integrales pero es toda la informacion que me da el problema

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

Recordar

en los XY:  x² + y² = 4² es una circunferencia

en los ejes XYZ: es un cilindro

x² + y² ≤ 16

es la parte interior y circunferencia base del cilindro.

z ∈ [0 , 4]

Los planos  z = 0 ;   z = 4  determinan las bases del cilindro, que

son dos círculos.

Para integral, haces el cambio

y = 4sen t  ;   dy = 4cos t

además

16 - y² <> 16 - 16sen² t

para y=0  => 0=4sent => 0 = sen t => t = 0

para y=4  => 4=4sent => 1 = sen t => t = 90º = $\frac{\pi }{2}$

reemplaza

$\int\limits^4_0 {\int\limits^b_0 {\sqrt{16-16sen^{2}\ t } } \, (4cost dt) } \, dz$        

b = $\frac{\pi }{2}$

$\int\limits^4_0 {\int\limits^b_0 {16cos^{2}\ t } } \, dt \, dz$

identidad trigonométrica

2cos² t = 1 + cos 2t

$8\int\limits^4_0 {\int\limits^b_0 {2cos^{2}\ t } } \, dt \, dz$

$8\int\limits^4_0 {\int\limits^b_0 {(1+cos2t)}} } \, dt \, dz$

$8\int\limits^4_0( {\int\limits^b_0 {dt+\int\limits^b_0 {cos2t} \, dt) dz$

y continuas