Question

Me interesa el 1.

Si son tan amables y me ayudan con lo demás, pues excelente :D

Answer 1

¡Buenas!

1)

El receptor de las antenas parabólicas generalmente se sitúa en el foco, debido a que es en este punto donde toda señal que llegue paralela al eje, se reflejará en el foco, por eso lo que hace una antena parabólica es recoger señales con toda su superficie y concentrarlas en su foco, si ponemos un receptor en dicho punto, el resultado es la mejor señal posible.

Para resolver el problema elegimos convenientemente nuestro sistema de coordenadas, y procedemos a calcular la coordenada del foco.

Como tenemos el diámetro y profundidad de la antena parabólica, y la parábola es una curva simétrica, entonces podemos hallar la ecuación de la parábola.

$\textrm{Ecuaci\'on de la par\'abola con v\'ertice en el origen} \\ \\ x^{2} = 4py \\ \\ p\ \to\ \textrm{Ordenada del Foco} \\ \\ \textrm{Elegimos un punto de la par\'abola para hallar el foco.} \\ \\ x = 50\ \wedge\ y = 20 \\ \\ 50^{2} = 4p(20) \\ \\ p =31,25$

6)

Usaremos la ecuación canónica de la parábola para poder ubicar el vértice.

$y^{2}+6x+10y+19=0 \\ \\ y^{2}+10y+19+6-6+6x=0 \\ \\ y^{2}+10y+25-6+6x=0 \\ \\ (y+5)^{2} = 6-6x \\ \\ (y+5)^{2} = -6(x-1)$

$(y-k)^{2}=4p(x-h) \\ \\ p > 0,\ \textrm{La par\'abola se abre a la derecha} \\ \\ p < 0,\ \textrm{La par\'abola se abre a la izquierda} \\ \\ \textrm{Las coordenadas del v\'ertice viene dado por:}\ (h; k)$

De la ecuación canónica podemos también obtener las coordenadas del foco, sin embargo no es necesario para resolver la pregunta.

El punto medio de la cuerda parabólica es $P_{(-2; -4)}$ y como sabemos los extremos de la cuerda parabólica se encuentran en la parábola; asignaremos un valor a estos extremos.

$A_{(a; b)}\ \ B_{(m; n)}$

y al ser $P$ punto medio, entonces usaremos la fórmula del punto medio de un segmento.

$\dfrac{a+m}{2} = -2\ \wedge\ \dfrac{b+n}{2} = -4 \\ \\ a+m = -4\ \wedge\ b+n=-8$

y los extremos al pertenecer a la parábola, entonces deben cumplir, simultáneamente.

$(b+5)^{2}=-6(a-1)\ \wedge\ (n+5)^{2}=-6(m-1)$

Aprovecharemos las igualdades para hallar los valores de al menos un punto de la recta (cuerda), para posteriormente hallar su ecuación.

$(b+5)^{2}=-6(a-1)\ \ \ \ \ \boldsymbol{...(1)} \\ \\ (n+5)^{2}=-6(m-1)\ \ \ \ \boldsymbol{...(2)} \\ \\ \textrm{Aprovechamos:} \\ \\ a+m = -4 \\ \\ m = -4-a \\ \\ b+n=-8 \\ \\ n = -8-b \\ \\ \textrm{Reemplazamos en}\ \boldsymbol{(2)} \\ \\ (-8-b+5)^{2} = -6(-4-a-1) \\ \\ (-b-3)^{2} = -6(-5-a)\ \ \ \ \ \boldsymbol{...(3)} \\ \\ \textrm{Desarrollamos}\ \boldsymbol{(1)} \\ \\ b^{2}+25+10b = -6a +6 \\ \\ \textrm{Desarrollamos}\ \boldsymbol{(3)} \\ \\ b^{2}+9+6b = 6a+30$

$\boldsymbol{(1)} + \boldsymbol{(3)} \\ \\ 2b^{2}+34+16b=36 \\ \\ 2b^{2}+16b-2=0 \\ \\ b^{2}+8b -1 = 0 \\ \\ b_{1}=-4 + \sqrt{17}\ \vee\ b_{2}=-4- \sqrt{17}$

Nos dio dos resultados posibles para b, Esto quiere decir que pueden existir dos posibles cuerdas, elegiremos la primera opción y procedemos.

$b = -4 + \sqrt{17} \\ \\ (b+5)^{2} = -6(a-1) \\ \\ (-4 + \sqrt{17} +5)^{2}=-6(a-1) \\ \\ (\sqrt{17}+1)^{2} = -6a+6 \\ \\ 18+2 \sqrt{17} = -6a+6 \\ \\ a = -2 - \dfrac{\sqrt{17}}{3}$

Una vez obtenidos a y b, podemos hallar la pendiente de la recta y posteriormente su ecuación.

$m_{L} = \dfrac{b-(-4)}{a-(-2)}$

Sustituyendo y operando...

$m_{L} = -3$

Ahora procedemos a hallar la ecuación de dicha recta.

$L:\ -3 = \dfrac{y-(-4)}{x-(-2)} \\ \\ L:\ -3(x+2) = y+4 \\ \\ L:\ -3x-6=y+4 \\ \\ L:\ y+3x+10=0$

RESPUESTA:

$\boxed{ L:\ y+3x+10=0}$