Question

Me colaboran con este ejercicio de E.D por favo

El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por la ecuación diferencial: d2xdt2+bdxdt+25x=0.
La ecuación del movimiento subamortiguado b = 6 y la ecuación del movimiento críticamente amortiguado b = 10, en función del tiempo respectivamente son:

Seleccione dos:

1. x(t)=C1e−4tcos3t+C2e−4tsen3t
2. x(t)=C1e5t+C2te5
3. x(t)=C1e−3tcos4t+C2e−3tsen4t
4. x(t)=C1e−5t+C2te−5t

Answer 1

PREGUNTA

El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por la ecuación diferencial: d2xdt2+bdxdt+25x=0.  

La ecuación del movimiento subamortiguado b = 6 y la ecuación del movimiento críticamente amortiguado b = 10, en función del tiempo respectivamente son:

Seleccione dos:  

1. x(t)=C1e−4tcos3t+C2e−4tsen3t

2. x(t)=C1e5t+C2te5

3. x(t)=C1e−3tcos4t+C2e−3tsen4t

4. x(t)=C1e−5t+C2te−5t

SOLUCIÓN

Hola!!

Resolvemos la ecuación diferencial

• Para b = 6

                $\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + b\dfrac{dx}{dt} + 25x = 0 \\\\\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 6\dfrac{dx}{dt} + 25x = 0 \\\\Asumimos\: que \: la \: soluci\'on \: tiene \: la \:forma\\\\\boldsymbol{x = e^{\lambda x}}\\\\Entonces\\\\\boldsymbol{*} x' = \lambda e^{\lambda x}\\\\\boldsymbol{*} x'' = \lambda^{2} e^{\lambda x}$

               $Reemplazamos \: en \:la \: E.D.\\\\x'' + 6x'+25x = 0\\\\\lambda^{2} e^{\lambda x}+6\lambda e^{\lambda x} + 25e^{\lambda x} = 0\\\\\underbrace{e^{\lambda x}}_{\neq 0}\underbrace{(\lambda^{2}+6\lambda +25)}_{=0} = 0\\\\\\\lambda^{2}+6\lambda +25 =0\\\\Resolviendo\\\\\lambda_{1} = -3 - 4i\\\\\lambda_{2} = -3 +4i\\\\La \: ecuaci\'on \:general \: es\\\\\boxed{\boldsymbol{\mathrm{x = C_{1}e^{-3t}\sin(4t)+C_{2}e^{-3t}\cos(4t)}}}$

• Para b = 10

             $\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + b\dfrac{dx}{dt} + 25x = 0 \\\\\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 10\dfrac{dx}{dt} + 25x = 0 \\\\Asumimos\: que \: la \: soluci\'on \: tiene \: la \:forma\\\\\boldsymbol{x = e^{\lambda x}}\\\\Entonces\\\\\boldsymbol{*} x' = \lambda e^{\lambda x}\\\\\boldsymbol{*} x'' = \lambda^{2} e^{\lambda x}$

            $Reemplazamos \: en \:la \: E.D.\\\\x'' + 10x'+25x = 0\\\\\lambda^{2} e^{\lambda x}+10\lambda e^{\lambda x} + 25e^{\lambda x} = 0\\\\\underbrace{e^{\lambda x}}_{\neq 0}\underbrace{(\lambda^{2}+10\lambda +25)}_{=0} = 0\\\\\\\lambda^{2}+10\lambda +25 =0\\\\Resolviendo\\\\\lambda_{1} =-5\\\\\lambda_{2} = -5\\\\La \: ecuaci\'on \:general \: es\\\\\boxed{\boldsymbol{\mathrm{x = C_{1}e^{-5t}+C_{2}xe^{-5t}}}}$

Rpta. Seleccionaremos la opción 3. y 4. respectivamente