Question

ME AYUDAN POR FAVOR EL TEMA ES "POTENCIAS".
Con su desarrollo por favor, bien especificado, no sacar de google.
1.- $\frac{(x^{2} )(x^{2})^{2}(x^{3})^{2}(x^{2})^{4} (x^{5})^{2} }{(x)(x^{3})(x^{5})(x^{7})(x^{3})^{3} }$

2.-$\frac{21^{6}.35^{3}.80^{3} }{15^{4}.14^{9} .30^{2} }$

Answer 1

Explicación paso a paso:

x² x⁴ x⁶ x⁸ x¹⁰

-------------------

x x³ x⁵ x⁷ x⁹

x³⁰

----

x²⁵

x⁵

(3⁶*7⁶) (5³*7³) (2¹²*5³)

------------------------------------

(3⁴*5⁴) (2⁹*7⁹) (2²*3²*5²)

2¹² * 3⁶ * 5⁶ * 7⁹

---------------------

2¹¹ * 3⁶ * 5⁶ * 7⁹

2

Answer 2

POTENCIAS

Ejercicio 1

Resolver:

$\mathsf{\dfrac{x^{2}(x^{2})^{2}(x^{3})^{2}(x^{2})^{4}(x^{5})^{2}}{(x)(x^{3})(x^{5})(x^{7})(x^{3})^{3}}}$

Aquí usaremos, primero, la propiedad "Potencia de potencia", que indica:

"Se tiene una base y un exponente. Todo esto está elevado a otro exponente. Se multiplican los exponentes entre sí, y obtenemos una sola base."  (aᵇ)ⁿ = aᵇ⁽ⁿ⁾

Aplicamos:

$\mathsf{\dfrac{(x^{2})(x^{2})^{2}(x^{3})^{2}(x^{2})^{4}(x^{5})^{2}}{(x)(x^{3})(x^{5})(x^{7})(x^{3})^{3}}}$

$\mathsf{\dfrac{(x^{2})(x^{4})(x^{6})(x^{8})(x^{10})}{(x)(x^{3})(x^{5})(x^{7})(x^{9})}}$

Ahora, aplicamos la propiedad "Producto de potencias de igual base"

"Se suman los exponentes y se escribe la misma base"   aᵇ × aⁿ = aᵇ⁺ⁿ

$\mathsf{\dfrac{(x^{2})(x^{4})(x^{6})(x^{8})(x^{10})}{(x)(x^{3})(x^{5})(x^{7})(x^{9})}}$

$\mathsf{\dfrac{(x)^{2+4+6+8+10}}{(x)^{1+3+5+7+9}}}$

$\mathsf{\dfrac{x^{30}}{x^{25}}}$

Finalmente, aplicamos la propiedad "Cociente de potencias de igual base"

"Se restan los exponentes y se escribe la misma base"  aᵇ ÷ aⁿ = aᵇ⁻ⁿ

$\mathsf{\dfrac{x^{30}}{x^{25}}=x^{30-25}=\large{\boxed{\mathsf{x^{5}}}}}$

Respuesta. x⁵

Ejercicio 2

Simplificar:

$\mathsf{S = \dfrac{21^{6}\cdot 35^{3}\cdot 80^{3}}{15^{4}\cdot 14^{9}\cdot 30^{2}}}$

Descomponemos cada base en factores primos. (Por ejemplo, 21 = 3 · 7, 35 = 5 · 7, 80 = 2⁴ · 5):

$\mathsf{S=\dfrac{21^{6}\cdot 35^{3}\cdot 80^{3}}{15^{4}\cdot 14^{9}\cdot 30^{2}}}$

$\mathsf{S=\dfrac{(3\cdot7)^{6}\cdot (5\cdot7)^{3}\cdot (2^{4}\cdot5)^{3}}{(3\cdot5)^{4}\cdot (2\cdot7)^{9}\cdot (2\cdot3\cdot5)^{2}}}$

Ahora, usamos la propiedad "Distributividad de la potencia", que indica:

"La potencia del producto de dos números es igual al producto de cada número elevada a esa misma potencia" (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

[La potencia es distributiva solo con respecto a la multiplicación y la división, no con sumas y restas]

$\mathsf{S=\dfrac{(3\cdot7)^{6}\cdot (5\cdot7)^{3}\cdot (2^{4}\cdot5)^{3}}{(3\cdot5)^{4}\cdot (2\cdot7)^{9}\cdot (2\cdot3\cdot5)^{2}}}$

$\mathsf{S=\dfrac{(3^{6})\cdot(7^{6})\cdot (5^{3})\cdot(7^{3})\cdot (2^{4})^{3}\cdot(5^{3})}{(3^{4})\cdot(5^{4})\cdot (2^{9})\cdot(7^{9})\cdot (2^{2})\cdot(3^{2})\cdot(5^{2})}}$

Usamos la propiedad "Producto de potencias de igual base" (Sumamos los exponentes de las bases iguales):

$\mathsf{S=\dfrac{(3^{6})\cdot(7^{6})\cdot (5^{3})\cdot(7^{3})\cdot (2^{4})^{3}\cdot(5^{3})}{(3^{4})\cdot(5^{4})\cdot (2^{9})\cdot(7^{9})\cdot (2^{2})\cdot(3^{2})\cdot(5^{2})}}$

$\mathsf{S=\dfrac{(3^{6})\cdot(7^{9})\cdot (5^{6})\cdot (2^{12})}{(3^{6})\cdot(5^{6})\cdot (2^{11})\cdot(7^{9})}}$

Eliminamos 3⁶ arriba y abajo:

$\mathsf{S=\dfrac{(3^{6})\cdot(7^{9})\cdot (5^{6})\cdot (2^{12})}{(3^{6})\cdot(5^{6})\cdot (2^{11})\cdot(7^{9})}}$

$\mathsf{S=\dfrac{(7^{9})\cdot (5^{6})\cdot (2^{12})}{(5^{6})\cdot (2^{11})\cdot(7^{9})}}$

Ahora, eliminamos 7⁹ arriba y abajo:

$\mathsf{S=\dfrac{(7^{9})\cdot (5^{6})\cdot (2^{12})}{(5^{6})\cdot (2^{11})\cdot(7^{9})}}$

$\mathsf{S=\dfrac{(5^{6})\cdot (2^{12})}{(5^{6})\cdot (2^{11})}}$

Ahora, eliminamos 5⁶ arriba y abajo (estamos tachando todos los términos iguales):

$\mathsf{S=\dfrac{(5^{6})\cdot (2^{12})}{(5^{6})\cdot (2^{11})}}$

$\mathsf{S=\dfrac{(2^{12})}{(2^{11})}}$

Finalmente, aplicamos "Cociente de potencias de igual base"(Restamos los exponentes):

$\mathsf{S=\dfrac{(2^{12})}{(2^{11})}=2^{12-11}=2^{1}=\large{\boxed{\mathsf{2}}}}$

Respuesta. S = 2