Question

ME AYUDAN POR FAVOR EL TEMA ES "ecuaciones de segundo grado".
Con su desarrollo por favor, bien especificado, no sacar de google.
4.- Calcula la suma y el producto de raíces
De la siguiente ecuación.
6$x^{2}$ – 2x – 1 = 0

Answer 1

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

EJERCICIO

Resolvemos la ecuación:

6x² – 2x – 1 = 0

Antes, recordemos que la estructura de una ecuación de segundo grado es:

$\large{\boxed{{\mathsf{ax^{2} + bx + c= 0}}}}$

Y para resolver, aplicamos la fórmula para ecuaciones de segundo grado, y es:

$\large{\boxed{\mathsf{x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}}}$

El signo ± da a entender que se aplica la fórmula dos veces, una con signo +, y otra con signo –.

En la ecuación del ejercicio:

• a = 6
• b = -2
• c = -1

Reemplazamos en la fórmula:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$

$\mathsf{x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^{2}-4(6)(-1)}}{2(6)}}$

$\mathsf{x=\dfrac{2 \pm \sqrt{4-4(6)(-1)}}{2(6)}}$

$\mathsf{x=\dfrac{2 \pm \sqrt{4+24}}{2(6)}}$

$\mathsf{x=\dfrac{2 \pm \sqrt{28}}{12}}$

Aquí, separamos la ecuación, una con signo más, y otra con signo menos:

$\mathsf{x_{1}=\dfrac{2 + \sqrt{28}}{12}}$            $\mathsf{x_{2}=\dfrac{2 - \sqrt{28}}{12}}$

Descomponemos 28 en factores primos, y a cada uno le aplicamos la raíz, así:

$\sqrt{28} =\sqrt{2^{2}\times 7 } =\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7} =2\times\sqrt{7} = \boxed{2\sqrt{7}}$

$\mathsf{Entonces: \sqrt{28}= 2\sqrt{7} }$

Continuamos resolviendo. Simplificamos cada raíz a la mitad:

$\mathsf{x_{1}=\dfrac{2 + 2\sqrt{7}}{12}}$            $\mathsf{x_{2}=\dfrac{2 - 2\sqrt{7}}{12}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x_{1}=\dfrac{1 + \sqrt{7}}{6}}}}$      $\boxed{\boxed{\mathsf{x_{2}=\dfrac{1 - \sqrt{7}}{6}}}}$

Las dos respuestas (raíces) de la ecuación son:

$\boxed{\boxed{\mathsf{x_{1}=\dfrac{1 + \sqrt{7}}{6}}}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x_{2}=\dfrac{1 - \sqrt{7}}{6}}}}$

Pide la suma de las raíces (recordemos que √7 - √7 = 0, son elementos similares con diferente signo):

$\mathsf{\dfrac{1 + \sqrt{7}}{6}+\dfrac{1 - \sqrt{7}}{6}} = \dfrac{1 + \sqrt{7}+1 - \sqrt{7}}{6}} = \dfrac{2}{6} = \boxed{\boxed{\dfrac{1}{3}}}$

Ahora, calculamos el producto de las raíces (por productos notables: (1 + √7) (1 - √7) = 1² - (√7)² = 1 - 7 = -6:

$\mathsf{\dfrac{1 + \sqrt{7}}{6}\times\dfrac{1 - \sqrt{7}}{6}} = \dfrac{1^{2} - (\sqrt{7})^{2} }{6\times6}} = \dfrac{1-7}{36} = \dfrac{-6}{36} = \boxed{\boxed{-\dfrac{1}{6}}}$

Respuestas.

 •  La suma de las raíces es igual a 1/3.

 •  El producto de las raíces es igual a -1/6.