Question

Me ayudan por favor a responder esta información.

Integra las funciones en cada lado de la igualdad para hallar la solución de la ecuación diferencial, que lleva la ecuación de Malthus, argumentando los pasos de la solución. No olvides que cada función tiene su propia constante de integración:

1/y dy=kdt

Una vez que tengas las respectivas anti derivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:

y=Cekt


Donde la variable y representa la tasa de crecimiento de la población.

3. Desarrollo. Con la aplicación de la anti derivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica:

Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 350 individuos determina el valor de C. Si tenemos que k=0.3, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 12 años. Bosqueja una gráfica a mano.

Para su presentación, expón todo el proceso en un archivo de procesad

Answer 1

Ecuación diferencial: [1/y] dy = Kt dt

1) Extraer antiderivada de miembro izquierdo

Antiderivada de [1/y] = ln (y) + C'

Puedes expresar C' como ln C , con lo que ln(y) + C' = ln (y) + ln C

ahora aplica propiedades de logaritmos de una suma:

ln (y) + ln (C) = ln (C * y)

Ahora aplicamos antiderivada en el lado derecho:

 antiderivada de Kdt = K (t + A)

Ahora podemos igualr las antiderivadas de los dos lados:

ln (C * y) = K(t + A)

Tomando antilogaritmo de cada lado

Cy = e ^ K (t + A)

Cy = e ^ (Kt + KA)

Aplicando propiedades de la exponenciación:

Cy = [e^ (Kt) ] [e^(KA)]

y = [e^ (kt)] [e^(KA)] /C

como e^ KA / C es constante, puedes llamarla C

y = C e ^ (kt) que es la forma buscada.


La condición inicial de 350 individuos implica que para t = 0 se cumple:

350 = C e^(0) = C (1) = C, por tanto C = 350.

=> y = 350 e^(Kt)

Ahora para K = 0,3 y t = 12, obtienes:

y = 350 * [ e^ (0,3*12) ] = 12.809

Para el bosquejo de la ecuación a mano toma los dos puntos encontrados:

(0, 350) y (12, 12809)

Calcula otros dos puntos intermedios, digamos para t = 1 y t = 10.

t = 1 => y = 350 * e^(0.3) = 472.5 => (1, 472.5)

t = 10 => y = 350 * e ^ (0.3*10) =   7029

Con lo que ahora tienes 4 puntos para bosquejar la gráfica, la cual deberá ser una curva creciente de forma exponencial.