Question

me ayudan plis

Determinar los elementos de la hipérbole 4x2-16y2-64=0

Dada la ecuación de la hipérbole cuya ecuación es 9y2 – 4x2 – 54y -16x +19=0

Answer 1

a) 4X² - 16Y² - 64 = 0

4X² - 16Y² = 64 (Divido Toda expresion entre 64)

[4X²/64] - [16Y²/64] = 1

X²/16 - Y²/4 = 1

Ya la tengo de la forma

$\frac{\left(X-h\right)^2}{a^2}-\frac{\left(Y-k\right)^2}{b^2}=1$

h = 0;  k = 0

a² = 16;  a = √16 = 4

b² = 4;  b = √16 = 2

[(X - 0)²/4²] - [(Y - 0)²/2²] = 1

Centro (0 , 0)

Vertices: (0 +/- a ; 0)

a = 4

Vertice 1: (4 , 0)

Vertice 2: (-4 , 0)

a² + b² = c²

16 + 4 = 20

c = √20 = 4.472136

Focos (0 +/- c , 0)

Foco 1: (4.472136 , 0)

Foco 2: (-4.472136 , 0)

b) 9Y² - 4X² - 54Y - 16X + 19 = 0

Completo cuadrados para X y  Y

Para Y: 9Y² - 54Y:  9[Y² - 6Y]

9[Y² - 6Y + 9 - 9]: 9[Y² - 6Y + 9] - 81

(Y² - 6Y + 9) = (Y - 3)²

9(Y - 3)² - 81

Ahora para X:

-4X² - 16X = -4(X² + 4X)

-4[(X² + 4X + 4 - 4)] = -4[(X² + 4X + 4] + 16

(X² + 4X + 4) = (X + 2)²

-4(X + 2)² + 16

Reescribo la expresion:

9(Y - 3)² - 81 - 4(X + 2)² + 16 + 19 = 0

9(Y - 3)² - 4(X + 2)² - 46 = 0 

9(Y - 3)² - 4(X + 2)² = 46 ( Divido toda la expresion entre 46)

[9(Y - 3)²/46] - [4(X + 2)²/46] = 1

[(Y - 3)²/(46/9)] - [(X + 2)²/(23/2)] = 1

Ya la tengo de la forma:

$\frac{\left(Y-k\right)^2}{a^2}-\frac{\left(X-h\right)^2}{b^2}=1$

Donde: - k = -3: k = 3:  -h = 2; h = -2

Centro (h, k) = (-2 , 3)

a² = 46/9 a = (√46)/3

b² = 23/2; b = (√23/2)

a² + b² = c²

(46/9) + (23/2) = 299/18

c² = 299/18:  c = √(299/18)

Vertices: (-2 , 3 +/- a)

a = (√46)/3 = 2.260777

Vertice 1: (-2 , 3 + 2.260777) = (-2 , 5.2607779)

Vertice 2: (-2 , 3 - 2.260777) = (-2 , 0.739223) 

Focos: (-2 , 3 +/- c)

c  = √(299/18) = 4.075673

Foco 1: (-2 , 3 + 4.075673) = (-2 , 7.075673)

Foco 2: (-2, 3 - 4.075673) = (-2 , -1.075673)

Te anexo las graficas las graficas

La del punto A, es la que no lleva la ecuacion:

La del punto B si le puse la ecuacion a la grafica