Question

me ayudan con esta tarea plzz doy 5 estrellas y corazon con resolucion!!!(imagen)

Answer 1

PROBLEMAS  DE  GEOMETRÍA  

Fíjate en el dibujo que he adjuntado donde he modificado el que has puesto tú y verás que el ángulo de 60º que nos da como dato es el formado por el radio trazado desde el centro hasta el punto donde nace el arco que forma la región sombreada.

Empezamos a deducir medidas de ángulos y figuras que se forman.

Si el ángulo  AOB mide 60º, el ángulo BOC mide su suplementario que es lo que le falta hasta 180º, es decir, mide 120º.

Como El segmento BO y el segmento OC son radios de esa circunferencia, son iguales y por tanto forman el triángulo isósceles BOC donde los dos ángulos formados en los vértices B y C miden 30º ya que tenemos calculado el ángulo BOC y entre los tres ángulos deben sumar 180º, me sigues?

Todo lo que he deducido te lo he pintado en rojo para más claridad.

El objetivo que persigo es calcular por un lado el área del triángulo isósceles BOC  y por otro lado calcular el área del sector circular delimitado igualmente por los puntos BOC para finalmente restar un área de la otra y obtener la solución.

Para calcular el área del sector circular tan solo hay que usar el radio de 6 unidades para calcular primero el área de todo el círculo que dice:

$A=\pi* r^2=\pi *6^2=113,1\ \ u^2$

Sabiendo que el ángulo completo de cualquier circunferencia mide 360º, se plantea esta regla de 3:

• 360º  corresponden a un área de 113,1  u²
• 120º  corresponden a un área de "x"  u²

Se calcula rápidamente esta regla de 3 puesto que 120 es la tercera parte de 360 así que dividiendo el área total entre 3 obtengo el área del sector circular que me interesa:

113,1 ÷ 3 = 37,7  u²

Ahora calcularé el área del triángulo isósceles y para ello necesito saber el lado BC que obtengo a partir del teorema del coseno que dice:

$a^2=b^2+c^2-2bc*cos\ A$

Siendo en nuestro caso:

• a = BC = Lado a calcular  (cuerda)
• b = BO = 6
• c = OC = 6
• Ángulo A = BOC = 120º

Con calculadora obtengo el coseno de 120º que es negativo (-0,5)

Sustituyo datos en esa fórmula:

$a^2=6^2+6^2-2*6*6*(-0,5)=36+36-72*(-0,5)=72+36=108\\ \\ a= BC=\sqrt{108} =10,4\ unidades$

Conocido ese lado, para hallar el área uso la fórmula de Herón que se basa en saber la medida de los tres lados de cualquier triángulo y dice:

$A=\sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}$

Siendo "p" el semiperímetro del triángulo y que calculo rápidamente:

p = (6+6+10,4) / 2 = 22,4 / 2 = 11,2

Sustituyo en la fórmula:

$A=\sqrt{11,2*(11,2-10,4)*(11,2-6)*(11,2-6)} =\\ \\ =\sqrt{11,2\ *\ 0,8\ *\ 5,2\ *\ 5,2} =\sqrt{242,2784} =\boxed{15,5\ \ u^2}$

Y ya como operación final solo queda restar el área del triángulo del área del sector:

Área sombreada = 37,7 - 15,5 = 22,2 u²  es la respuesta.

Saludos.