Question

me ayudan a resolver los siguientes limites cuando x tiende a 0 y a infinito,paso a paso.

Answer 1

Tienes el siguiente límite,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\left(1+\frac{x}{6}\right)^{\frac{3}{x}}}$

lo primero, sería pensar en logaritmos y sus propiedades entonces,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\frac{x}{6}\right)^{\frac{3}{x}}=\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac{3}{x}\ln\left(1+\frac{x}{6}\right)}$

usando la regla de la cadena para límites, o en otras palabras, podemos "subir" el límite al exponente, es decir,

$(e)^{\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{3}{x}\ln\left(1+\frac{x}{6}}\right)}$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{3}{x}\ln\left(1+\frac{x}{6}}\right)=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\ln\left(1+\frac{x}{6}\right)}{\frac{x}{3}}}\longrightarrow_{\textrm{LHopital}}\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\frac{\frac{1}{6}}{1+\frac{x}{6}}}{\frac{1}{3}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{3}{6+x}}$

y el límite se reduce su dificultad considerablemente¡¡...ahora éste no es el límite real, recordar que sacamos el limite de la parte del exponente, entonces,

 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\left(1+\frac{x}{6}\right)^{\frac{3}{x}}}=\lim_{x\rightarrow0}{e^{\frac{3}{x}\ln\left(1+\frac{x}{6}\right)}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{3}{x}\ln\left(1+\frac{x}{6}\right)}}=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$

y eso sería todo.

Ahora quiero que intentes hacer el otro límite...mira que es mu fácil...es exactamente el mismo procedimiento...que he hecho..pero el límite cambio....es decir que al último obtendrás e^(0)=1 ese es el límite...

es exactamente lo mismo¡¡...solo cambias el cero por el infinito...y hallas el valor...

suerte¡
bien, en definitiva, debemos hallar ese nuevo límite, podemos jugar un poco con las operaciones, así,