Question

Me ayudan a resolver. Gracias
1) Elías escribió en la pizarra los números desde el 1 hasta el 2019.Luego borró todos los números pares, y de los que quedaron borró todos los múltiplos de 3.
a) ¿Cuántos números quedaron en la pizarra?
b) ¿Cuál es la suma de todos ellos?

2) David montó sus cerdos en una carreta para ir a venderlos al mercado. También puso en la carreta una cantidad de repollos exactamente igual al cuadrado del número de cerdos. Durante el viaje cada cerdo se comió dos repollos. Una vez en el mercado David vendió 5 cerdos y cierto número de repollos. Al final del día observó con sorpresa que el número de repollos que tenía era igual al cuadrado del número de cerdos que le quedaban. Entonces puso todo lo que no vendió en la carreta y emprendió el regreso. Pero durante el viaje cada cerdo se comió dos repollos, y al llegar a su casa David tenía cerdos pero ningún repollo. ¿Cuántos repollos vendió David en el mercado?

Answer 1

1. Cantidad de números múltiplos de 2: [2019/2] = 1009

Cantidad de números múltiplos de 3: [2019/3] = 673

Cantidad de números múltiplos de 6: [2019/6] = 336

Entonces

• Cantidad de números múltiplos de 2 pero no de 3:

1009-336 = 673

• Cantidad de números múltiplos de 3 pero no de 2:

673 -  336 = 337

• cantidad de números que borró: 673 + 337 + 336 = 1346
• quedan 2019 - 1346 = 673

$\sum =\dfrac{2019\times 2020}{2}=2039190$

2)

Cantidad de Cerdos = C

Cantidad de Repollos = R

Datos

• R = C²
• Durante el viaje cada cerdo se comió dos repollos, entonces

                  $R_1=R-2C$

• David vendió 5 cerdos y cierto número de repollos. Al final del día observó con sorpresa que el número de repollos que tenía era igual al cuadrado del número de cerdos que le quedaban:

$C_1=C-5$

$R_2=R_1-R^?$

$R_2=C_1^2$

• Entonces puso todo lo que no vendió en la carreta y emprendió el regreso. Pero durante el viaje cada cerdo se comió dos repollos, y al llegar a su casa David tenía cerdos pero ningún repollo.

$R_3=R_2-2C_1=0\to R_2=2C_1$

Resolución

partamos de $R_2=2C_1$ y reemplacemos

$R_1-R^?=2(C-5)\to (R-2C)-R^?=2(C-5)\to \boxed{R^?=R-4C+10}$

Utilicemos el dato: $R_2=C_1^2$

$R_1-R^?=(C-5)^2\to R-2C-R^?=(C-5)^2\to C^2-2C-R^?=(C-5)^2\\ \\R^?=8C-25$

Igualemos

$R-4C+10=8C-25\\\\C^2-4C+10=8C-25\\\\C^2-12C+35=0\\\\C\in\{5,7\}$

Para que la venta tenga coherencia entonces hubieron 7 cerdos al inicio, por ende vendio 8C - 25 = 56 - 25 = 31 repollos