Question

¿Me ayudan a derivar estos problemas por favor?

y=6x³-8x²+3x-1/3

y=(5x³-2x)⁴

y=√7x-2

Answer 1

Respuesta:

Para el primero necesitamos saber que la derivada de una suma es ma suma de las derivadas, es decir:

$\frac{d}{dx} (x + y) = \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} (y)$

es decir que se hace por separado.

(No te asustes por las d, eso significa que es lo que se quiere derivar y en qué función ya que no siempre puede ser en función de x si no de t o de y o de otras cosas, pero solo vamos a trabajar en función de x).

Entonces:

$\frac{d}{dx} (6x^{3} ) + \frac{d}{dx} ( - 8 {x}^{2} ) + \frac{d}{dx} (3x) + \frac{d}{dx} ( - \frac{1}{3} )$

Es decir que se derivan por separado.

Para derivar un monomio con grado, solo baja el exponente de la x para que multiplique al número de al lado y al exponente le restas 1, así:

$\frac{d}{dx} (6 {x}^{3} ) = 6 \times 3 {x}^{3 - 1} = 18 {x}^{2}$

$\frac{d}{dx} ( - 8 {x}^{2} ) = - 8 \times 2 {x}^{2 - 1} = - 16x$

$\frac{d}{dx} (3x) = 3 \times 1 {x}^{1 - 1} = 3 {x}^{0} = 3$

ya que todo número a la 0 es 1.

Para el caso de los números que no tienen una x acompañando simplemente se hacen 0:

$\frac{d}{dx} ( - \frac{1}{3} ) = 0$

Y ahora los sumas todo:

$\frac{dy}{dx} = 18 {x }^{2} - 16x + 3$

dy se refiere a la derivada de la función completa, en el enunciado nos dicen que "y" es toda esa ecuación, entonces la derivada de toda esa ecuación es eso, lo que calculamos.

Para el segundo ejercicio es necesario usar la regla de la cadena, aunque yo, simplemente por costumbre, me salto los pasos ya que es muy simple. Haces la derivada como que si lo de adentro del paréntesis no existiera y después multiplicas eso por la derivada de lo de adentro, sin tener en cuenta el exponente:

$\frac{d}{dx} ([ 5 {x}^{3} - 2x ]^{4} ) \\ = 4 \times (5 {x}^{3} - 2x)^{4 - 1} \times(15 {x}^{2} - 2) \\ = 4(5 {x}^{3} - 2x)^{3} (15 {x}^{2} - 2)$

Puede que te hayas confundido en el proceso pero si lo miras detenidamente está bien, en el primer paso pase multiplicando el exponente hacia adelante y le reste 1 al exponente de lo de adentro del paréntesis y luego le multiplique la derivada de lo de adentro sin tener en cuenta el exponente.

Para la siguiente tenemos que transformar un poco está función para que podamos derivarla mejor. Recordemos que la derivada NO ES igual a la función.

$y = \sqrt{7x - 2} = {(7x - 2)}^{ \frac{1}{2} }$

Esta es una propiedad de las raíces. Ahora sí comencemos a derivar

$\frac{d}{dx} ([7x - 2 ]^{ \frac{1}{2} } ) \\ = \frac{1}{2} \times (7x - 2)^{ \frac{1}{2} - 1 } \times 7 \\ \\ = \frac{1}{2} {(7x - 2)}^{ - \frac{1}{2} } \times 7$

El exponente al restarlo con el 1 queda negativo, por lo que se baja al denominador:

$\frac{1}{2 {(7x - 2)}^{ \frac{1}{2} } } \times 7 = \frac{7}{2 \sqrt{7x - 2} }$

Entonces:

$\frac{dy}{dx} = \frac{7}{2 \sqrt{7x - 2} }$

Espero que hayas entendido todo, lo hice un poco rápido porque supongo que sabras operar y las propiedades de las raíces y los exponentes. Buena suerte.