Question

me ayuda con este problema: una empresa de mercadotecnia que opera en el mercado financiero bajo la siguiente función de costos totales: CT=x² + 100x + 500. Un precio de venta dado es de $ 200 pesos por Unidad.
calcular:
• Para maximizar las utilidades, ¿Cuántas unidades debe producir la empresa?
• ¿A cuánto ascienden las utilidades? Se debe incluir su gráfica correspondiente.

Answer 1

La utilidad máxima que se puede obtener con esta operación se produce al vender 50 unidades, y esta asciende a $2000.

Explicación:

Si el precio de venta del producto bajo estudio es de $200 por unidad, podemos definir una función ingreso como:

$I(x)=200x$

Y la utilidad será la diferencia entre los ingresos y costos para igual cantidad de unidades vendidas. Por lo que la función utilidad es:

$U(x)=200x-(x^2+100x+500)\\\\U(x)=200x-x^2-100x-500\\\\U(x)=-x^2+100x-500$

Siendo esta la función a maximizar, para que en un punto x0 de su dominio una función tenga un máximo, las condiciones que deben cumplir las derivadas de esta en ese punto son:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)<0$

Las derivadas son:

$U'(x)=-2x+100\\U''(x)=-2$

Como la derivada segunda es siempre negativa, el extremo que hallemos será un máximo, igualamos la derivada a cero:

$100-2x=0\\x=50$

Esta es la cantidad de unidades a vender para que la utilidad sea máxima, ahora esa utilidad máxima es:

$U(50)=-50^2+100.50-500=2000$

En la imagen adjunta está la gráfica de la utilidad obtenida en función de la  cantidad de unidades vendidas.