maximos y minimos, ayuda con este problema que me dejaron en mis cursos para entrar a la universidad: Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular, de 50000 litros de capacidad. Encuentre las dimensiones adecuadas para que la cantidad de metal (área total), sea mínima en caso de que el recipiente este cerrado.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Utiliza un lagrangiano.
Volumen del cilindro = pi x altura x radio^2 = pi.h.r^2
Área del cilindro = Área del techo y piso + Área de las paredes
Área del techo y piso = 2 x (pi x radio^2)
Área de las paredes = 2 x pi x radio x altura
Área del cilindro = 2.pi.r^2 + 2.pi.r.h
Queremos minimizar el área del cilindro (función objetivo) sujeto a un volumen de 50000 (restricción). Construye la función lagrangiana:
L = función objetivo + lambda x (restricción - restricción base)
L = 2.pi.r^2 + 2.pi.r.h + lambda.(pi.h.r^2 - 50000)
Deriva parcialmente respecto a las variables que buscas: radio y altura, e iguala a cero.
Lr = 4.pi.r + 2.pi.h + lambda.pi.h.2.r = 0 .......... (1)
Lh = 2.pi.r + lamda.pi.r^2 = 0 ........ (2)
Despejamos lo que se pueda en las ecuaciones (1) y (2), queda:
Lr = 2.r + h + lambda.h.r = 0
Lh = 2 + lambda.r = 0
Despeja lambda e igualas los lambda en cada ecuación, luego queda:
2/r = (2.r + h)/(h.r)
h = 2.r ............. (3)
Luego, con esta relación vamos al dato de volumen:
50000 = pi.h.r^2 = pi.2.r.r^2 = 2.pi.r^3
r^3 = 25000/pi
r = 19.96472712
De la ecuación (3):
h = 2.r = 2.(19.96472712)
h = 39.92945425
Necesitas un cilindro con un radio de 19.96472712 y una altura de 39.92945425 para que exactamente entren 50000 litros.