Question

. Maximizar la función F(x, y) = 5x + 3y sujeta a: { ≤ 10 − 2 ≤ 6 3 + 4 ≥ 24 ≥ 0 ≥ 0

Answer 1

La función es máxima en el punto (26/3, 4/3), es decir, x = 26/3, y = 4/3

Tenemos que:

Maximizar: F(x,y) = 5x + 3y

S.A.

x + y ≤ 10

x - 2y ≤ 6

3x + 4y  ≥  24

x ≥ 0

y ≥ 0

Usaremos el método gráfico:

Si observamos la imagen adjunta vemos en rosado las restricciones al problema de menor o igual y en azul las de mayor o igual, que fueron graficadas para encontrar la región factible que señalamos en turquesa.

Luego por programación lineal sabemos que los mínimos y máximos posibles están en los vértices de la región factible, en circulo podemos ver los vértices que son:

A: (0,10)

B: (0,6)

Y los puntos de intersección de las rectas:

i) y = 10 - x con y = 0.5x - 3

ii) y = 0.5x - 3 con y = 6-3/4x

Buscamos dichos puntos

i) 10 - x = 0.5x - 3

10 + 3 = 0.5x + 1

13 = 1.5x

x = 13/1.5 =  26/3 = 8.6667 entonces y = 0.5*8.6667 -3 = 4/3 = 1.3333

ii) 0.5x -3 = 6 - 3/4x

0.5x + 3/4x = 6 +3

5/4x = 9

x = 4/5*9 = 36/5 = 7.2 Entonces y = 0.5*7.2 - 3 = 0.6

Por lo tanto los otros vértices son:

C: (26/3, 4/3)

D: (7.2, 0.6)

Evaluamos en la función optima:

F(0,10) = 5*0 + 3*10 = 30

F(0,6) = 5*0 + 3*6 = 0+ 18 = 18

F(3,2) = 5*26/3 + 3*4/3 = 130/3 + 4 = 142/3 = 47.3333

F(7.2, 0.6) = 5*7.2 + 3*0.6 = 37.8

Como queremos que la función sea máxima entonces tomamos la que arroja mayor valor que es el vértice C = (26/3, 4/3)

La función es máxima en el punto C =  (26/3, 4/3)