Question

Maximacion de ingresos. Cuando el precio por pieza de un juguete se fija en $30 cada uno, éste alcanza ventas anuales de 4000 unidades. El fabricante estima que cada $1 de aumento en el costo disminuira las ventas en 100 unidades. Con esta informacion encuentra el precio unitario que maximiza el ingreso total.
(Sugerencia: Ingreso total= precio x numero de unidades vendidas)

Answer 1

Datos: 

Sabemos que la función Ventas/Precio es una relación lineal. que puede ser dada por: 

Ventas= m (Precios) +b

Siendo m= -100/1 (Relación que existe entre precio y venta). 

Ventas= -100 (Precio) +b

b, es una constante que podemos calcular con los datos que nos da el ejercicio cuando nos dice que: "Cuando el precio por pieza de un juguete se fija en $30 cada uno, éste alcanza ventas anuales de 4000 unidades". 

4000= -100 (30$)+b 
b= 7000. 

Entonces la función nos quedaría como: 

V= -100P+7000. 

Ademas sabemos que el Ingreso se calcula como: 

I= V*P 

Sustituyendo V. 

I= (-100P+7000) * P 

Quedandonos una función de segundo grado que nos relaciona los ingresos con el precio. 

I=-100P²+7000P 

Para encontrar maximos de la función vamos a calcular su primera derivada. 

I'= -200P+7000 

Igualando a cero. 
200P=7000
P=35$

Calculamos la segunda derivada para comprobar la existencia de un máximo. 

I''= -200, Por lo que siempre será <0 quedando comprobado la existencia de un maximo. 

Entonces el precio que nos da la mayor cantidad de ingresos es P=35$. 

Con unas ventas de: 


V= -100(35)+7000. = 3500$

y con ingresos de I= 122,500.00 $