Question

Matrices: Forma escalonada y forma escalonada reducida de una matriz (Semejanzas, diferencias y usos).

Determinantes: Definición, propiedades y usos.

Answer 1

Una matriz se llama escalonada por renglones o  simplemente escalonada si cumple con las siguientes propiedades:

• Todos los renglones cero están en la parte inferior de la matriz.
• El elemento delantero de cada renglón diferente de cero esta a la derecha del elemento  delantero diferente de cero del renglón anterior.

Una matriz se llama escalonada reducida  por renglones o simplemente escalonada reducida si cumple con las propiedades anteriores y  ademas estas:

• En cada renglón no nulo el elemento delantero diferente de cero (“pivote”) es igual  a uno:

                  ∀i ∈ {1, . . . , r} Ai,pi = 0.

• Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos:

            ∀i ∈ {2, . . . , r} ∀k ∈ {1, . . . , i − 1} Ak,pi = 0.

Una determinante (A) únicamente de las matrices que son cuadradas es decir tienen igual número de filas y columnas, y es un numero que consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.

Propiedades de los determinantes

1. Para cualquier A, se verifica :   |A| = |tA|
2. Si una matriz A tiene una fila o columna formada por ceros, entonces  |A| = 0 .
3. Si a los elementos de una fila o columna de la matriz A se multiplica (o divide) por un número k, entonces su determinante queda multiplicado (o dividido) por k.
4. Si en una matriz cuadrada se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), su determinante cambia de signo.
5. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es nulo.
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es nulo.