Question

Martín está de vacaciones en una Bahía Tropical que cuenta con tres Islas alquilo un barco en la isla a y planea ir a la isla C que está a 8km de distancia basándose en la figura continuación A qué ángulo debe Navegar para ir a la isla C
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Answer 1

Martín debe navegar con un ángulo de 71.8 para ir a la Isla C

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Según la figura que se adjunta se representa la situación en un triángulo ABC. En donde en cada uno de sus vértices se ubican las tres islas que componen la Bahía Tropical. Teniendo en el vértice A la Isla A - en dónde se encuentra Martín- en el vértice B se ubica la Isla B y por último se localiza la Isla C en el vértice C.

Donde para este triángulo cada uno de sus lados equivalen a las distancias entre las tres islas mencionadas. Siendo el lado AC (b) la distancia entre la Isla A -donde se ubica Martín- y la Isla C, el lado BC (a) es el trayecto desde la Isla B hasta la Isla C, y por último el lado AB (c) el cual es la longitud desde la Isla A hasta la Isla B

Donde se conocen las magnitudes de los tres lados del triángulo

$\bold{a = 10 \ km }$

$\bold{b = 8 \ km }$

$\bold{c =9 \ km }$

Donde se pide hallar con que ángulo debe Martín navegar para dirigirse de la Isla A hasta la Isla C

Para determinar el ángulo solicitado vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Calculamos el ángulo con el cuál Martín debe navegar para dirigirse a la Isla C desde su ubicación actual

Sabemos que Martín se encuentra en la Isla A –vértice A- del triángulo, y planea dirigirse a la Isla C en línea recta. Luego para determinar el ángulo con el cual debe navegar para dirigirse a ese punto; debemos calcular el valor del ángulo A. El cuál es el ángulo comprendido por los lados del triángulo que representan las distancias respectivas desde -la ubicación de Martín- en la isla A hasta las islas B y C

Hallado el valor de ese ángulo podremos saber con qué ángulo debe navegar para ir desde la Isla A –en donde se encuentra- hasta la Isla C -que quiere visitar-

Hallamos el ángulo al que llamamos A

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(8 \ km )^{2} + (9 \ km )^{2} - (10 \ km )^{2} }{2 \ . \ 8 \ km \ . \ 9 \ km } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{64\ km^{2} + 81\ km^{2} - 100 \ km^{2} }{144 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{145\ km^{2} - 100 \ km^{2} }{144 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{45 \not km^{2} }{144 \not km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 45 }{144 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= 0.3125 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {A=arccos( 0.3125 ) }}$

$\boxed {\bold {A = 71.79^o }}$

$\large\boxed {\bold {A = 71.8^o }}$

Por lo tanto Martín debe navegar con un ángulo de 71.8° para ir a la Isla C

Se agrega gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas