Marta propone a Juan la siguiente operación: «Durante los próximos diez días yo te voy a dar 1 € el primer día y cada día 1 € más que el día anterior; a cambio, tú a mí me vas a dar 10 céntimos de euro el primer día y cada día, doble cantidad que el día anterior». Al final de los diez días, ¿cuánt dinero se deben?
Respuestas a la pregunta
Es un ejercicio interesante para practicar con los dos tipos de progresiones más conocidos que son la aritmética y la geométrica.
Marta da a Juan 1 euro el primer día y va aumentando la cantidad en 1 euro cada nuevo día, o sea que la progresión es aritmética (PA) porque cada término (la cantidad de euros que le da cada día) se obtiene sumando una cantidad invariable (1 euro) al término anterior y esa cantidad la llamamos: diferencia "d" entre términos consecutivos.
Y lo que necesitamos calcular es la suma de todas las cantidades que Marta le da a Juan cada uno de los 10 días. Para ello hemos de tener en cuenta el valor del primer término:
a₁ = 1
El valor del último término que será la cantidad que le da el décimo día y que obviamente serán 10 euros.
aₙ = a₁₀ = 10
Y el número de términos son los 10 días:
n = 10
Usamos la fórmula de suma de términos de una PA:
Así ya sabemos que en esos diez días, Juan recibe 55 € de Marta.
En el caso de Marta, recibe 10 céntimos el primer día y a partir del segundo día la cantidad se incrementa con el doble que el día anterior así que aquí estamos ante una progresión geométrica (PG) en la cual cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un número invariable llamado razón "r" y que en este caso es 2 ya que las cantidades recibidas cada día se van duplicando.
Reconozcamos los datos de la PG:
- Primer término ... a₁ = 10
- Razón ... r = 2
- Número de términos ... n = 10
Y ahora aplicamos la fórmula de suma de términos que dice:
Juan entrega a Marta 10.230 céntimos de euro que lo pasamos a euros dividiendo por 100 céntimos que tiene un euro y nos queda que...
En esos diez días, Marta recibe 102,30 € de Juan