Question

Mario está rindiendo su examen de Matemática para ingenieros 1 y necesita realizar una aproximación para 33−−√5 y su calculadora está fallando. Entonces procede a realizarlo mediante el uso de diferenciales. Escribir el proceso que debe realizar Mario.

Answer 1

Para hallar el valor aproximado del número $\frac{33}{\sqrt{5}}$ usando diferenciales debemos racionalizar el número y hallar un polinomio de Taylor de grado 1, vamos a obtener 14,85, siendo el valor exacto 14,75804865...

Explicación:

El número irracional $\frac{33}{\sqrt{5}}$ se puede racionalizar de esta manera para eliminar la raíz cuadrada del denominador:

$\frac{33}{\sqrt{5}}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{33}{5}\sqrt{5}$

Podemos recurrir a la función $f(x)=\frac{33}{5}\sqrt{x}$ y hallar un polinomio de Taylor de grado 1 con x=4, ya que es el cuadrado perfecto más próximo a 5:

$P(x)=\frac{33}{5}(\sqrt{4}+\frac{1}{2\sqrt{4}}(x-4))=\frac{33}{5}(2+\frac{1}{4}(x-4))$

Con ese polinomio debemos hacer x=5 y vamos a obtener el valor aproximado del número:

$P(x)=\frac{33}{5}(2+\frac{1}{4}(5-4))=14,85$

El valor del número con la calculadora es $\frac{33}{\sqrt{5}}\simeq 14,75805$