Question

María, después de escuchar la información, decide adecuar un espacio contiguo a su casa para cuidar su salud, realizando ejercicios físicos y mejorar los niveles de oxígeno en la sangre. Ella considera que la superficie debe tener forma rectangular, la cual delimitará con 20 m de cuerda. Sabiendo que solo debe colocar la cuerda sobre tres lados, ya que el cuarto limita con su casa, según lo leído responde:

cuáles eran las dimensiones de la superficie destinada para hacer ejercicio si debe tener la máxima área?


cuál será el área de dicho espacio?

qué tipos de ejercicios podría realizar en el espacio delimitado por la cuerda?

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Answer 1

Las dimensiones necesarias para que el espacio contiguo a la casa de María tenga la mayor área posible son:     10    metros en el lado paralelo a la casa y    5    metros en los laterales.

Explicación paso a paso:

La función objetivo es el área del espacio contiguo a la casa de María.

Si llamamos    

x   =  longitud del lado paralelo a la casa, en metros

h   =  longitud de los laterales, en metros

La función objetivo viene dada por:

Área  =  A  =  xh  m²

Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la longitud  L  de la cuerda que delimitará el espacio rectangular (ecuación auxiliar) para despejar    h    en función de    x:

$\bold{L~=~x~+~2h~=~20\qquad \Rightarrow\qquad h~=~\dfrac{20~-~x}{2} ~=~10~-~\dfrac{x}{2}}$

 

por tanto la función objetivo es

$\bold{A~=~x[10~-~\dfrac{x}{2}]~=~10x~-~\dfrac{x^2}{2}}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.

$\bold{A'~=~[10x~-~\dfrac{x^2}{2}]'~=~10~-~x}$

$\bold{A'~=~0 \qquad \Rightarrow \qquad 10~-~x~=~0\qquad \Rightarrow\qquad x~=~10}$

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

$\bold{A''~=~[10~-~x]'~=~-1}$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$\bold{A''_{(10)}~=~-1~<~0\qquad \Rightarrow \qquad x~=~10}$

es un máximo de la función A.

Sustituimos el valor de la longitud del lado en la ecuación de cálculo del lateral h:

$\bold{h~=~10~-~\dfrac{(10)}{2}\qquad \Rightarrow\qquad h~=~5}$

¿Cuáles serán las dimensiones de la superficie destinada para hacer ejercicios si debe tener la máxima área?

Las dimensiones necesarias para que el espacio contiguo a la casa de María tenga la mayor área posible son:     10    metros en el lado paralelo a la casa y    5    metros en los laterales.

¿Cuál será el área de dicho espacio?

A  =  (10)(5)  =  50  m²

El área del espacio contiguo a la casa de María será de  50  m².