Question

Luis tiene un pastizal en forma cuadrada cuya superficie mide 3,600m2 y no está cercado . En le centro del pastizal hay un árbol al cuál ata a su caballo con una cuerda que llega exactamente a las esquinas del de pastizal y le permite al caballo rodear el terreno ¿ Cuál es la longitud del máximo recorrido que puede hacer el caballo al dar una vuelta al árbol ?
¿Que área puede pizar el caballo fuera del pastizal ?

Answer 1

La longitud del máximo recorrido que puede hacer el caballo al dar una vuelta al árbol es de aproximadamente 266,60 metros. El área que puede pisar el caballo por fuera del pastizal es de aproximadamente 2055,82 metros cuadrados.

Procedimiento:

Como el pastizal es de forma cuadrada y conocemos su área

Vamos a calcular el valor del lado del pastizal

El área de un cuadrado equivale al producto de la base por la altura de éste, y al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado

Expresamos

$\boxed {\bold{\'Area \ de \ un \ Cuadrado = Lado \ . \ Lado}}$

$\boxed {\bold{\'Area \ de \ un \ Cuadrado = Lado^{2} }}$

$\boxed {\bold{ Lado^{2} = 3600\ metros^{2} }}$

$\boxed {\bold{ \sqrt{Lado^{2} } = \sqrt{ 3600\ metros^{2} } }}$

$\boxed {\bold{ Lado \ del \ Cuadrado\ = 60\ metros }}$

El pastizal de forma cuadrada tiene 60 metros de lado

Sabemos que se ata al caballo en un árbol que se encuentra en el centro del pastizal

• Por lo tanto ese árbol se ubica en el centro del cuadrado

• Luego el árbol se halla a una distancia equivalente a 30 metros a cada lado del centro del cuadrado

• Debemos determinar la distancia entre el árbol y las esquinas (vértices) del cuadrado que hace al pastizal

Hallando la distancia entre el árbol y las esquinas del cuadrado que conforma el pastizal

• Si observamos con atención vemos que al trazar las diagonales en el cuadrado se forma(n) uno (o cuatro) triángulo(s) rectángulo(s) en el mismo

• Donde se conoce el valor de su catetos que es 30 metros, es decir la mitad del valor del lado del pastizal

• En ese triángulo rectángulo su hipotenusa sería la distancia de la cuerda atada al árbol hasta la esquina del cuadrado

Para hallar este valor emplearemos el teorema de Pitágoras

Expresamos

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} }}$

Donde la hipotenusa (que es la mitad de la diagonal del cuadrado) es la distancia entre el árbol y la esquina del cuadrado y al mismo tiempo la longitud de la cuerda con que se ata al caballo, y los dos catetos a y b equivalen a la distancia desde el centro del cuadrado que conforma el pastizal hasta el borde de sus lados. Por tanto su valor es la mitad del lado del pastizal, siendo estos catetos de 30 metros

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} }}$

Reemplazando

$\boxed {\bold {c^{2} = (30 \ metros)^{2} + (30 \ metros)^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 900 \ metros + 900 \ metros} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 1800 \ metros} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{c^{2} } = \sqrt{ 1800 \ metros } } }}$

$\boxed {\bold {c \approx 42,43 \ metros} }}$

La distancia desde el árbol hasta las esquinas del cuadrado que conforma el pastizal, y que es al mismo tiempo la longitud de la cuerda con que se ata al caballo, es de aproximadamente 42,43 metros

Nótese que este es el alcance máximo que el caballo puede tener

Hallando la longitud del recorrido máximo que puede hacer el caballo al dar una vuelta al árbol

• Se observa que la cuerda con que se ata al caballo es equivalente al radio de un círculo

• Por lo tanto podemos decir que el caballo sólo puede moverse de una manera circular y por fuera del pastizal.

• Se trata de un cuadrado - que es el pastizal - inscrito en un círculo que determina el movimiento del caballo.

Todo esto junto con el planteo y resolución se puede observar en el gráfico adjunto

• Para hallar la longitud del máximo recorrido que puede hacer el caballo al dar una vuelta al árbol, es preciso hallar el perímetro o longitud de la circunferencia

Expresamos

$\boxed {\bold {Longitud \ de \ Circunferencia= 2\ . \pi \ . \ r }}$

$\boxed {\bold {Longitud \ de \ Circunferencia= 2\ . \pi \ . \ 42,43 \ metros }}$

$\boxed {\bold {Longitud \ de \ Circunferencia \approx 266,60\ metros }}$

La longitud del máximo recorrido que puede hacer el caballo -siempre por fuera del pastizal- es de aproximadamente 266,60 metros

Hallando el área que puede pisar el caballo por fuera del pastizal

Primero debemos hallar el área del círculo

Expresamos

$\boxed {\bold {\'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ r^{2} }}$

$\boxed {\bold {\'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ (42,43\ metros)^{2} }}$

$\boxed {\bold {\'Area \ del \ C\'irculo = \pi \ . \ 1800,30\ metros^{2} }}$

$\boxed {\bold {\'Area \ del \ C\'irculo \approx 5655,82\ metros^{2} }}$

Para hallar el área que puede pisar el caballo fuera del pastizal, simplemente restaremos al área del círculo el área del cuadrado que representa al pastizal

$\boxed {\bold {\'Area \ Total = 5655,82 \ metros^{2} - 3600 \ metros^{2}}}$

$\boxed {\bold {\'Area \ Total = 2055,82 \ metros^{2} }}$

El área que puede pisar el caballo por fuera del pastizal ≅ 2055,82 metros³