Question

Los vértices de un triángulo son los puntos A(1,- 5),B (3,3) y C(-1,1) Determinar:

Realizar la gráfica.
La medida del ángulo interior del vértice A.
La altura del triángulo del segmento (AB) ̅ al vértice A
Calcular el área del triángulo

Answer 1

La medida de ángulo interno del vértice A del triángulo es:

α = 32.47°

La altura del triángulo del segmento AB al vértice C es:

|CM| = 3,4

El área del triángulo ABC es:

A = 14 u²

¿Cómo calcular el ángulo de un triángulo conocidos sus vértice?

1. Se calcula los vectores directores de los lados del triángulo.
2. Luego se calculan los módulos de los vectores.
3. Se calcula el producto escalar.
4. Sustituir en la formula del ángulo.

Vectores

AB = B - A

AB = (3-1; 3+5)

AB = (2, 8)

AC = C - A

AC = (-1-1; 1+5)

AC = (-2, 6)

Aplicar formula del ángulo;

$Cos(\alpha )=|\frac{ AB*AC}{|AB|*|AC|} |$

Siendo;

|AB| = √[(2)²+(8)²]

|AB| = 2√17

|AC| = √[(-2)²+(6)²]

|AC| = 2√10

Producto escalar

AB · AC = 2(-2) + 8(6)

AB · AC = 44

sustituir;

$Cos(\alpha )=|\frac{ 44}{2\sqrt{17}*2\sqrt{10} } |$

Despejar α;

$\alpha =Cos^{-1} |\frac{ 44}{2\sqrt{17}*2\sqrt{10} } |$

α = 32.47°

   

Calcular una recta perpendicular al segmento AB y que pase por el punto C.

m₂ = -1/m₁

siendo;

m₁ = (3+5)/(3-1)

m₁ = 4

y + 5 = 4(x - 1)

y = 4x - 4 - 5

y = 4x - 9

sustituir;

m₂ = -1/4

Recta: y - 1 = -1/4(x + 1)

           y = -x/4 - 1/4 + 1

           y = -x/4 + 3/4

Igualar las rectas;

4x - 9 = -x/4 + 3/4

17x/4 = 39/4

x = 39/17

y = 4(39/17) - 9

y = 3/17

Punto de intersección:

M(39/17; 3/17)

El modulo de CM es la altura del triángulo;

|CM| = √[(39/17 + 1)²+(3/17 - 1)²]

|CM| = 3,4

El área de un triángulo es el producto de su base por la altura dividido entre dos.

A = (b × h)/2

Conocidos los vértices se aplica:

$A=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1\\x_2&y_2\\x_3&y_3\end{array}\right]$

En sentido contrario a las agujas del reloj se colocan los puntos.

Sustituir;

$A=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}3&3\\-1&1\\1&-5\\3&3\end{array}\right]$

A = 1/2 [3(1)+(-1)(-5)+(1)(3)-(3)(-5)-(1)(1)-(-1)(3)]

A = 1/2 |11 + 17|

A = 1/2(28)

A = 14 u²

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