Question

Los tres lados de un triángulo son 3 números enteros consecutivos y la superficie es 84m2. Halla los 3 lados

Answer 1

Respuesta:

13, 14 y 15 m

Explicación paso a paso:

Un lado lo llamaremos X.  Al siguiente lado consecutivo, lo llamaremos X+1.

Y el siguiente consecutivo será X+2

Vamos a aplicar el Teorema de Heron, concretamente su fórmula para el área, pero necesitamos primero saber el semi perímetro "S". (La suma de los lados dividida entre 2)

$S=\frac{x+x+1+x+2}{2}=\frac{3x+3}{2}$

La fórmula dice:  $A=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$

Donde S es el semiperímetro, a, b, c son los lados (es decir, x; x+1; y x+2) y A es área, o sea 84 m2.  (Por comodidad y agilidad vamos a trabajar dejando a un lado la unidad m2, pero al final ya sabemos que el área se expresa en unidades al cuadrado)

Reemplazamos y tenemos:

$84=\sqrt{\frac{3x+3}{2}*(\frac{3x+3}{2}-x)*(\frac{3x+3}{2}-(x+1))*(\frac{3x+3}{2}-(x+2))}$

Realizamos las restas de fracciones de cada paréntesis, para simplificar la expresión:

$84=\sqrt{\frac{3x+3}{2}*\frac{x+3}{2}*\frac{x+1}{2}*\frac{x-1}{2}}$

Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad y así eliminamos la raíz cuadrada:

$7056=\frac{3x+3}{2}*\frac{x+3}{2}*\frac{x+1}{2}*\frac{x-1}{2}$

Hacemos las multiplicaciones del lado derecho. Numeradores por numeradores y denominadores por denominadores y tenemos:

$\frac{3x^{4}+12x^{3}+6x^{2}-12x-9}{16}=7056$

Pasamos el denominador 16 a multiplicar al otro lado:

$3x^{4}+12x^{3}+6x^{2}-12x-9=112896$

Podemos sacar factor común 3 en la expresión del lado derecho:

$3(x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-3)=112896$

Pasamos el factor 3 a dividir al otro lado:

$x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-3=37632$

Pasamos 37632 a restar al lado izquierdo e igualamos la ecuación a 0

$x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-37635=0$

Hay que resolver esa ecuación de cuarto grado. Usemos la división sintética y la raíz racional

Divisores de 37635:

1,3,5,13,15,39,65,193,195,579,965,2509,2895,7527,12545,37635

Probamos los divisores, multiplicando el último por el primero, luego e penúltimo por el segundo y así sucesivamente. Nos debe dar siempre 37635:

37635*1 = 37635;  12545*3=37635; 7527*5= 37635 ... 965*39=37635...

El coeficiente principal de la ecuación es 1, por tanto las raíces racionales serán los mismos divisores

Ubicamos los coeficientes de la ecuación

1    4     2    -4    -37635

Ensayamos el procedimiento con cada divisor tanto positivo como negativo.

Encontramos que al operar con el divisor 13, el término independiente es 0

Por tanto $x_{1}=13$

Encontramos que al operar con -15 también el término independiente es 0, por tanto $x_{2}=-15$

Pero como se trata de la medida de un lado, no podemos tomarla negativa, por tanto el lado mide 13 y la unidad serían metros.

Si los lados son enteros consecutivos, entonces sus medidas son 13, 14 y 15 metros. (Ese es un triángulo notable, se conoce que la altura es 12)