Question

Los siguientes datos de programa de programación lineal se usan para la planificación mensual de las tareas de una planta donde se fabrican 3 productos (P1, P2 y P3) y que se procesan en tres áreas diferentes (T1, T2 y T3) con disponibilidades horarias para el mes de marzo de 2020 respectivas de 900, 480 y 400 horas al mes.
Maximizar: Z = 8 X1 + 6 X2 + 6 X3

Sujeto a:

1,5 X1 + 2,5 X2 + 1,8 X3 ≤ 900
1,7 X1 + 1,5 X2 + 1,9 X3 ≤ 480
1,8 X1 + 1,2 X2 + 1,7 X3 ≤ 400
X1, X2, X3 ≥ 0

Con los datos anteriores:

a. Resuélvalo por el método simplex.
b. ¿Cuál es la utilidad que genera la producción para el mes de marzo?
c. ¿Deben fabricarse los 3 productos?, si la respuesta es negativa, indique cuáles

Answer 1

La máxima utilidad se obtiene si se fabrican los productos 1 y 2 solamente.  

Explicación paso a paso:  

a. Resuélvalo por el método simplex.  

Llamaremos:  

X1  =  unidades a producir de producto 1  

X2  =  unidades a producir de producto 2

X3  =  unidades a producir de producto 3

Función objetivo:                 Maximizar             Z  =  8X1  +  6X2  +  6X3  (Utilidad)  

Condiciones del problema:  

1,5X1  +  2,5X2  +  1,8X3  ≤  900

1,7X1  +  1,5X2  +  1,9X3  ≤  480

1,8X1  +  1,2X2  +  1,7X3  ≤  400

Condiciones de no negatividad:  

X1  ≥  0  

X2  ≥  0  

X3  ≥  0  

1.- Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:  

Función objetivo:         Maximizar  

Z(x1,x2,x3,h1,h2,h3)  =  8X1  +  6X2  +  6X3  +  0h1  +  0h2  +  0h3  

Condiciones del problema:  

1,5X1  +  2,5X2  +  1,8X3  +  h1  =  900

1,7X1  +  1,5X2  +  1,9X3  +  h2  =  480

1,8X1  +  1,2X2  +  1,7X3  +  h3  =  400

2.- Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo):  

$\begin{array}{r|l}\underline {X1 ~ X2 ~ X3 ~ h1 ~ h2 ~ h3 & B}\\ \frac{3}{2} \quad \frac{5}{2} \quad \frac{9}{5} \quad 1 \quad 0 \quad 0 & 900 \qquad h1\\ \frac{17}{10} \quad \frac{3}{2} \quad \frac{19}{10} \quad 0 \quad 1 \quad 0 & 480 \qquad h2\\ \frac{9}{5}\quad \frac{6}{5} \quad \frac{17}{10} \quad 0\quad 0\quad 1&400 \qquad h3\\\overline{-8\quad -6\quad -6\quad 0\quad 0\quad 0&0}\\\end{array}$

Se obtiene la primera solución: Z(0,0,0,900,480,400) = 0  

3.- Se transforma la tabla para obtener una nueva solución. Para ello:  

3.1.- Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila.  

Primera columna.

3.2.- Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna B y la columna pivote.  

Los cocientes positivos serian:    

900/(3/2)  =  600             480/(17/10)  =  4800/17            400/(9/5)  =  2000/9

Tercera fila.

3.3.- El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote. Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote (9/5).  

3.4.- Se anula el resto de la columna pivote usando el uno como pivote.  

Se multiplica fila 3 por (-3/2) y se suma a la fila 1.  

Se multiplica fila 3 por (-17/10) y se suma a la fila 2.  

Se multiplica fila 3 por (8) y se suma a la fila 4.  

3.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,  

$\begin{array}{r|l}\underline {X1 ~ X2 ~ X3 ~ h1 ~ h2 ~ h3 & B}\\ 0 \quad \frac{3}{2} \quad \frac{23}{60} \quad 1 \quad 0 \quad -\frac{5}{6} & \frac{1700}{3} \qquad h1\\ 0 \quad \frac{11}{30} \quad \frac{53}{180} \quad 0 \quad 1 \quad -\frac{17}{18} & \frac{620}{9} \qquad h2\\ 1\quad \frac{2}{3} \quad \frac{17}{18} \quad 0\quad 0\quad \frac{5}{9} & \frac{2000}{9} \qquad X1\\\overline{0\quad -\frac{2}{3}\quad \frac{14}{9}\quad 0\quad 0\quad \frac{40}{9}& \frac{16000}{9}}\\\end{array}$

Se obtiene la segunda solución: Z(2000/9,0,0,1700/3,620/9,0)  =  16000/9

4.- Se revisa la última fila de la tabla y, como hay valores negativos, se repite el paso 3.  

4.1.- Segunda columna es columna pivote.  

4.2.- Segunda fila es fila pivote, ya que los cocientes positivos serian:  

(1700/3)/(3/2)  =  3400/9          (620/9)/(11/30)  =  6200/33            (2000/9)/(2/3)  =  1000/3

4.3.- El elemento pivote es el número 11/30; se divide la fila pivote por 11/30.  

4.4.- Se anula el resto de la columna pivote.  

Se multiplica fila 2 por (-3/2) y se suma a la fila 1.  

Se multiplica fila 2 por (-2/3) y se suma a la fila 3.  

Se multiplica fila 2 por (2/3) y se suma a la fila 4.  

4.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,  

$\begin{array}{r|l}\underline {X1 ~ X2 ~ X3 ~ h1 ~ h2 ~ h3 & B}\\ 0 \quad 0 \quad -\frac{271}{330} \quad 1 \quad -\frac{45}{11} \quad \frac{100}{33} & \frac{9320}{33} \qquad h1\\ 0 \quad 1 \quad \frac{53}{66} \quad 0 \quad \frac{30}{11} \quad -\frac{85}{33} & \frac{6200}{33} \qquad X2\\ 1\quad 0 \quad \frac{9}{66} \quad 0\quad -\frac{20}{11}\quad -\frac{115}{99} & \frac{3200}{33} \qquad X1\\\overline{0\quad 0 \quad \frac{23}{11}\quad 0\quad \frac{20}{11}\quad \frac{30}{11}& \frac{62800}{33}}\\\end{array}$

Se obtiene la tercera solución: Z(3200/33,6200/33,0,9320/33,0,0)  =  62800/33

5.- Se revisa la última fila de la tabla y, ya que no hay valores negativos, se selecciona la mejor solución.  

La solución máxima de la función objetivo (utilidad) es  

Z  =  62800/33

cuando se producen  

3200/33  ≅  96  unidades del producto 1  y  

6200/33  ≅  187  del producto 2.  

b. ¿Cuál es la utilidad que genera la producción para el mes de marzo?

La utilidad en el mes de marzo es de    62800/33  =  1903  unidades monetarias

c. ¿Deben fabricarse los 3 productos?, si la respuesta es negativa, indique cuáles

Solo deben fabricarse los productos 1 y 2.