Question

Los segmentos 25cm, 24cm y 7cm forman un triángulo rectángulo ¿Verdadero o falso?​

Answer 1

Respuesta: verdadero

Explicación paso a paso:

Aplicamos el teorema de pitagoras.

C al 2= A al 2 +B al 2

25 al 2= 7 al 2 + 24 al 2

625. = 49 + 576

625=625

Answer 2

Respuesta:

Como ya se ha definido, un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado

opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

5.2.3 Teorema de Pitágoras

Resolución de

Triángulos

Rectángulos

c

b

a

A B

C

a : hipotenusa del triángulo rectángulo

Δ

BAC

b : cateto

c : cateto

c

b

a

A B

C

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos. Es decir:

2 2 2 a = b + c

A esta relación se le llama relación pitagórica.

El triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, llamado

perfecto o sagrado, fue usado por los egipcios

para trazar ángulos rectos. En sus papiros se

observa que después de las inundaciones del

Nilo y construyendo triángulos rectángulos con

cuerdas, fijando los límites de las parcelas,

trazaban direcciones perpendiculares.  

106

5.2.3 El recíproco del teorema de Pitágoras

Si en un triángulo

Δ

ABC se cumple 2 2 2 a = b + c , entonces

Δ

ABC es rectángulo y el ángulo

recto es el ángulo cuyo vértice es A.

Nota: Si tres números, a, b y c verifican una de las tres relaciones pitagóricas entonces,

podemos construir un triángulo rectángulo cuyos lados tienen como longitudes a, b y c.

Queda para el lector verificar que las ternas de números utilizadas por los egipcios y los

hindúes cumplen con la relación pitagórica.

5.2.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la

hipotenusa?

Solución

Si llamamos: a a la hipotenusa; b y c a los catetos, aplicando el teorema de Pitágoras

tenemos 12 5 169 2 2 2 a = + = ⇒ a = 169 = 13

por lo que obtenemos que la hipotenusa mide 13 cm

Ejemplo 2: Dado el triángulo de la figura, con los siguientes datos: e = 9cm , g = 4.5cm y

ο β = 30 . Calcular : f y α

Solución

Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:

e2

= f

2

+ g2

al reemplazar por los datos, tenemos:

e2

= f

2

+ 4.52⇒ f

2

= g2

– 4.52

= 60.75

⇒ f = 60.75 ≅ 7.8

Por lo tanto: f ≅ 7.8cm

Para calcular el ángulo α , tenemos que α y β son complementarios (¿Porqué?), por lo tanto:

ο ο ο

α = 90 − 30 = 60

Ejemplo 3: Dado el

Δ

ABC tal que:

a) a = 10cm , b = 8cm y c = 6 cm

b) a = 9cm , b = 11cm y c = 5 cm

Decidir si los datos dados en a) y/o en b) corresponden a un triángulo rectángulo.

Solución

Tenemos que aplicar el recíproco del teorema de Pitágoras

Para los datos dados en a), si es rectángulo, la hipotenusa debería ser a y lo otros dos los

catetos, en consecuencia debería cumplirse:

2 2 2 a = b + c

(1) 100 2 a =

(2) 8 6 100 2 2 2 2 b + c = + =

f

g e

E G

F

α

β

107

Por (1) y (2), se cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto con estos datos el

Δ

ABC es

rectángulo en A.

Para los datos dados en b), si es rectángulo, la hipotenusa debe ser b y lo otros dos los

catetos, en consecuencia debe cumplirse:

2 2 2 b = a + c

(1) 121 2 b =

(2) 106 9 5 2 2 2 2 a + c = + =

Por (1) y (2), tenemos que no se cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto con estos datos

el

Δ

ABC no es rectángulo.

Ejemplo 4: Dado un triángulo de lados 4 cm, 5 cm y 6 cm, calcular la altura

sobre el lado menor y el área.

Solución

Al observar la figura, vemos que la altura divide al triángulo dado

en dos triángulos:

Δ

CID y el

Δ

CIE .

Al considerar estos triángulos rectángulos y aplicando

el teorema de Pitágoras, tenemos:

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

= + −

= +

2 2 2

2 2 2

5 4

6

h ( x )

h x ⇒ ⎪⎩

⎪

⎨

⎧

= + −

= +

2 2

2 2

25 4

36

h ( x )

h x

Al resolver el sistema, tenemos: h ≅ 4.96cm , x ≅ 3.38cm y 2 A ≅ 9.90cm

La altura pedida es de 4.96 cm y el área es de 9.90 cm2

5.2 TRIGONOMETRÍA

La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está

constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo, significa

determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones

entre ellos.

5.2.3 Razones trigonométricas del triángulo rectángulo

C D

E

I

h

x 6cm 4cm

5cm

Dado cualquier otro triángulo semejante al dado, por

ejemplo, el

Δ

A´BC´ , tenemos:

BA´

A´C´

c

b , BC ´

BA´

a

c , BC ´

A´C´

a

b = = = b

a

A´ c B

C´

A

C

α

b

c

a

C

B A

Explicación paso a paso: