Question

Los resultados de un test de aptitud tomada a un grupo de 100 personas son los siguientes:
intervalo Número de personas
[0.5,5.5) 7
[5.5,10.5) 12
[10.5,15,5) 21
[15.5,20.5) 32
[20,5,25.5] 28
a. realizar la tabla de frecuencias para datos agrupados.
b. calcular las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión.
c. calcule cuartiles, percentiles 20 y 85, y déciles 7 y 9.
d. qué porcentaje representa una persona que tiene entre 15,5 y 20,5 respuestas correctas.

Answer 1

Del enunciado  presentado se construye  la tabla de distribución de  

frecuencia con datos agrupados

intervalo     f a. marca de clase marca x f    Frecuencia  acum.

0,5  5,5         7    3,0          21,0                          7

5,5  10,5       12    8,0          96,0                         19

10,5  15,5       21   13,0         273,0                         40

15,5  20,5       32   18,0         576,0                         72

20,5 25,5      28   23,0         644,0                       100

    100                1610

La marca de clase es el promedio entre el limite inferior  y el   limite superior, así la marca de clase del primer intervalo es 3   y así  sucesivamente con todos los intervalos

y=  0.5 +5.5 / 2 =  3

La marca de clase  x  frecuencia absoluta se obtiene multiplicando  la marca de clase  por la frecuencia absoluta del primer intervalo  que es 21   y  así sucesivamente con todos los demás intervalos de clase

  3   x   7  =  21

Medidas de tendencia central que son:   media, la mediana  y la moda o clase modal      

La media es el promedio de todos los valores.   Se halla sumando  todos   los valores obtenidos en la marca de clase por la frecuencia y dividiéndolo   entre el numero de datos de la frecuencia

X =  1610  /  100  =  16,10  

La mediana es aquel valor que esta en el centro de todos, ni tan grande ni

tan pequeño. Para localizarlo es necesario colocar los datos en orden de

magnitud de menor a mayor.

En  esta serie de datos   7,  12,  21,  28,  32,   la  mediana   es  21

Cuando  se trabaja  con datos agrupados  en vez de calcular la moda se calcula la clase  modal .   La clase  modal  es  el  dato  que  mas se repite  en la  serie

En  la serie  el dato que mas se repite  es  32, entonces la clase modal   es ( 15,5   -  20,5 )

Medidas  de  dispersión  muestran la variabilidad de una distribución  

Rango.  Es la diferencia entre el valor máximo de los puntos del test  y el valor  mínimo de los mismos  . El valor máximo es 25,5   y el valor mínimo es  0,5, entonces  Rango es igual a  20,5  -  0,5 = 20

Cuartiles, son los valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q1,  Q2,  Q3  determinan los valores correspondientes al 25 %, al 50 %  y al 75 % de los datos

Qk =    L1+KN/4 - fi-1  / F1- a

K*N/4, K= 1, 2, 3    ;      K=  1, 2,  3

De donde  L1  es el limite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

N es la suma de las frecuencias absolutas

Fi-1  es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.

a1  es la amplitud de la clase

Cálculo del primer  cuartil

Se busca el intervalo donde esta el primer cuartil, multiplicamos 1 *N / 4

1 X N /4 = 25

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas el intervalo que contiene a 25 ; La clase de Q1  es 10,5 - 15,5

aplicamos la formula para el calculo de  cuartil para datos agrupados

  Q1= Li + k*N/4 - fI-1  /  fi  *  ai

Q1 = 10,5 - 19 / 21 *5= 5,97

cálculo  del segundo cuartil

buscamos el intervalo donde se encuentra el segundo  cuartil, multiplicamos    2(100 ) /4 = 50;  

buscamos en la columna de la frecuencia acumulada( F1) el intervalo que contiene a  50.     La   clase de Q2  es 15,5 - 20,5

Aplicamos la formula

Q2= 15,5 -40/32 * 5 =  -3,82

Cálculo  de  tercer  cuartil

Buscamos  el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicamos 3(N) y dividimos / 4

3x  100 /4 =  75.;

buscamos en la columna de la frecuencia acumulada ( F) el intervalo que contiene a  75;       La clase es  20,5  -  25,5

Aplicamos la formula para el calculo

Q3= 20,5 - 72 / 28  *  5=   -9,19

Percentil

Percentil  20.  Buscamos el intervalo donde se encuentra el percentil  20, multiplicamos 20( 100 ) /100  =  20

Buscamos en la columna de frecuencia acumulada ( F), el intervalo que contiene a 20.        La clase de P20  es  10,5  -  15,5

Aplicamos la formula P20 =  10,5+20-10/21  *  5 =  52,73

Percentil  85 =  85(100) /100= 85

la clase es  20,5 - 25,5

P85=  20,5 + 85-72/28 * 5= 104,82

Deciles

Decil 7, buscamos en el intervalo donde se ubica el decil 7 y calculamos

100(2)/10 =  20

buscamos en la columna de frecuencia acumulada el intervalo  que contiene 20 .     es la clase  D1 = 10,5 - 15,5

Aplicamos la formula D1=  10,5 + 20-0/7 * 5 =  66,80

Decil 9,   se ubica en el intervalo donde se encuentra el decil 9, entonces 100 x 2 /10 = 20

D9 = 10,5 + 20-0/9 * 5 = 63,60

Porcentajes que representa una persona que tiene 15,5  -  20,5

72/100  =  72 %

32/100=  32%