Question

Los puntos P1 (1,2,-1), P2 (4,3,-5) y P3 (-1, 0, 3) forman un plano, hallar la distancia al punto M (4,6,1). Utilice el método de la formula y compruebe usando el método del producto punto.​

Answer 1

La distancia del punto M al plano que contiene a los punto P₁, P₂ y P₃ es:

3√3

¿Cómo se construye un plano con tres puntos?

Para construir un plano con tres puntos que pertenecen a dicho plano se debe seguir las instrucciones:

1. Tomar los primeros dos puntos y construir un vector.
2. Con el primer punto y el tercero construir otro vector.
3. Hallar la normal del plano al aplicar producto vectorial a los dos vectores anteriores.
4. Con un vector genérico y el primer punto construir otro vector en función de x, y, z.
5. Aplicar producto punto igual a cero de la normal y al nuevo vector.
6. La expresión obtenida del producto punto es la ecuación del plano.

¿Cómo calcular la distancia de un punto a un plano?

Se debe aplicar la siguiente formula de distancia:

$d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

¿Cuál es la distancia del punto M al plano?

Primero calcular la ecuación del plano:

1. Vectores pertenecientes al plano.

P₁P₂ = P₂ - P₁

Sustituir:

P₁P₂ = (4-1, 3-2, -5+1)

P₁P₂ = (3, 1, -4)

P₁P₃ = P₃ - P₁

P₁P₃ = (-1-1, 0-2, 3+1)

P₁P₃ = (-2, -2, 4)

2. Hallar el vector normal que es perpendicular al plano.

Aplicar producto vectorial:

P₁P₂ × P₁P₃ = N

P₁P₂ × P₁P₃ =  $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&1&-4\\-2&-2&4\end{array}\right]$

P₁P₂ × P₁P₃ = i[(1)(4) - (-2)(-4)] - j[(3)(4) - (-2)(-4)] + k[(3)(-2) - (-2)(1)]

P₁P₂ × P₁P₃ = i(4-8) - j(12-8)+ k(-6+2)

P₁P₂ × P₁P₃ = (-4i - 4j - 4k) = N

3. Vector genérico P₁Q.

Siendo;

Q(x, y, z)

P₁(1, 2, -1)

Sustituir;

P₁Q = Q - P₁

P₁Q = (x - 1; y - 2; z + 1)

3. Ecuación del planos se obtiene aplicando el producto punto.

P₁A · N = 0

P₁A · N = (-4i - 4j - 4k) · (x - 1; y - 2; z + 1)

P₁A · N = -4(x - 1) - 4(y - 2) - 4(z + 1)

P₁A · N = -4x + 4 - 4y + 8 - 4z - 4

P₁A · N =  -4x - 4y - 4z + 8

 -4x - 4y - 4z + 8 = 0

Multiplicar por -1/4;

Ec. π: x + y + z - 2 = 0

Aplicar formula de distancia entre un punto y un plano:

• A = B = C = 1
• D = -2
• (x₁, y₁, z₁) = M(4, 6 1)

Sustituir;

$d=\frac{|4+6+1 -2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}\\\\d=\frac{|9|}{\sqrt{3}}\\\\d = 3\sqrt{3}$

Puedes ver más sobre  distancia aquí: https://brainly.lat/tarea/59842688