Los puntos P (-2,-6) y Q (5,6) determinan el diámetro de una circunferencia. Hallar su ecuación general
Respuestas a la pregunta
Recordemos que la ecuación ordinaria de una circunferencia se define como:
Como observamos necesitamos conocer el radio y el centro, entonces
✅ Hallemos el diámetro y radio
Por ello determinaremos la distancia entre los puntos P y Q
Lo que acabamos de hallar es el diámetro, pero nosotros queremos el radio, entonces lo dividimos entre 2
✅ Hallemos el centro
Por ello determinaremos el punto medio del segmento P y Q
Lo único que queda es reemplazar y operar para determinar la ecuación general de la circunferencia.
⚠ La gráfica, solo es para comprobar nuestros resultados.
Respuesta:
Recordemos que la ecuación ordinaria de una circunferencia se define como:
$$\begin{gathered}\overset{\sf{\vphantom{\Big|}Ecuaci\acute{o}n\ de\ la\ circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\sf{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}}}}\qquad\sf{Donde}\qquad\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\bigcirc \kern-7.5pt \triangleright} \quad \sf{(h,k): {\displaystyle \underset{\displaystyle \vphantom{\bigg|}circunferencia}{\displaystyle Centro\ de\ la}}\\\boldsymbol{\bigcirc \kern-7.5pt \triangleright} \quad \sf{r:radio}\end{array}\end{gathered}$$
Como observamos necesitamos conocer el radio y el centro, entonces
✅ Hallemos el diámetro y radio
Por ello determinaremos la distancia entre los puntos P y Q
\begin{gathered}\begin{array}{c}\sf{d[P,Q]=\sqrt{\left[\left(-2\right)-\left(5\right)\right]^2+\left[\left(-6\right)-\left(6\right)\right]^2}}\\\\\sf{d[P,Q]=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-12\right)^2}}\\\\\sf{d[P,Q]=\sqrt{49+144}}\\\\\boldsymbol{\boxed{\sf{d[P,Q]=\sqrt{193}\ u}}}\end{array}\end{gathered}
d[P,Q]=
[(−2)−(5)]
2
+[(−6)−(6)]
2
d[P,Q]=
(−7)
2
+(−12)
2
d[P,Q]=
49+144
d[P,Q]=
193
u
Lo que acabamos de hallar es el diámetro, pero nosotros queremos el radio, entonces lo dividimos entre 2
\sf{Di\acute{a}metro = d[P,Q] = \sqrt{193}\qquad\blue{\Rightarrow}\qquad Radio=\dfrac{\sqrt{193}}{2}}Di
a
ˊ
metro=d[P,Q]=
193
⇒Radio=
2
193
✅ Hallemos el centro
Por ello determinaremos el punto medio del segmento P y Q
\begin{gathered}\begin{array}{c}\sf{C=\left(\dfrac{-2 + \left(5\right)}{2},\dfrac{-6 + \left(6\right)}{2}\right)}\\\\\sf{C=\left(\dfrac{-2 + 5}{2},\dfrac{-6 + 6}{2}\right)}\\\\\sf{C=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{0}{2}\right)}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{C=\left(\dfrac{3}{2},0\right)}}}\end{array}\end{gathered}
C=(
2
−2+(5)
,
2
−6+(6)
)
C=(
2
−2+5
,
2
−6+6
)
C=(
2
3
,
2
0
)
C=(
2
3
,0)
Lo único que queda es reemplazar y operar para determinar la ecuación general de la circunferencia.
\begin{gathered}\begin{array}{c}\sf{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}\\\\\sf{\left(x-\left(\dfrac{3}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(0\right)\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{193}}{2}\right)^2}\\\\\sf{\left(x-\left(\dfrac{3}{2}\right)\right)^2+(y)^2=\dfrac{193}{4}}\\\\\sf{\left(x^2+\dfrac{9}{4}-6x\right)+y^2=\dfrac{193}{4}}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{x^2+y^2-6x-46=0}}}}\end{array}\end{gathered}
(x−h)
2
+(y−k)
2
=r
2
(x−(
2
3
))
2
+(y−(0))
2
=(
2
193
)
2
(x−(
2
3
))
2
+(y)
2
=
4
193
(x
2
+
4
9
−6x)+y
2
=
4
193
x
2
+y
2
−6x−46=0
⚠ La gráfica, solo es para comprobar nuestros resultados.
\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{$\sf{\red{O}}$}\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{$\sf{\red{O}}$}\quad\raisebox{15pt}{$\sf{{G}}$}\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{$\sf{{G}}$}\quad\raisebox{15pt}{$\sf{\red{H}}$}\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{$\sf{\red{H}}$}\quad\raisebox{10pt}{$\sf{{E}}$}\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{$\sf{{E}}$}\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule
R
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