Question

Los puntos A(3,-2) y C(7,4) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD, el cual tiene un lado paralelo a la recta 6x-y+2=0 . Halle las coordenadas de los otros dos vértices.

Answer 1

Entonces ya tenemos el vector $\vec{\alpha}=\vec{AC}=(7,4)-(3,-2)=(4,6)$
El vector direccional de la recta dada es $\vec{v}=(1,6)$ puesto que su pendiente es 6. Lo que debemos hacer, es proyectar el vector $\vec{\alpha}$ sobre el vector $\vec{v}$, esto es

$\mbox{Proy}_{\vec{v}}\;\vec{\alpha}=\dfrac{\vec{\alpha}\cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\,\vec{v}\\ \\ \mbox{Proy}_{\vec{v}}\;\vec{\alpha}=\dfrac{(4,6)\cdot (1,6)}{37}\,(1,6)\\ \\ \\ \boxed{\mbox{Proy}_{\vec{v}}\;\vec{\alpha}=\dfrac{40}{37}\,(1,6)}$

Luego para hallar B hacemos:

$B=A+\dfrac{40}{37}(1,6)\\ \\ B=(3,-2)+\dfrac{40}{37}(1,6)\\ \\ \boxed{B=\dfrac{1}{37}(151,166)}$

Para hallar D , busquemos un vector ortogonal a la proyección anterior

$\mbox{Proy}_{\vec{v}^{\bot}}\,\vec{\alpha}=\dfrac{(4,6)\cdot(-6,1)}{37}(-6,1)\\ \\ \\ \boxed{\mbox{Proy}_{\vec{v}^{\bot}}\,\vec{\alpha}=\dfrac{18}{37}(6,-1)}$

Entonces
$D=A+\dfrac{18}{37}(6,-1)\\ \\ D=(3,-2)+\dfrac{18}{37}(6,-1)\\ \\ \\ \boxed{D=\dfrac{1}{37}(219,-92)}$

(véase el gráfico de abajo)