Question

Los puntos A(2, 3) , B( a,-2) y C(5,0) forman un triángulo rectángulo recto en A. El valor de a es.?

Answer 1

Para que se cumpla, los vectores AB y BC deben ser perpendiculares.

Los vectores tienen las siguientes coordenadas:
AB (a-2,-2-3) ; BC (5-a,0-(-2))

AB(a-2,-5) ; BC(5-a,2)

Una vez tenemos sus coordenadas, debemos conocer la condición que cumplen dos vectores perpendiculares:

AB⊥BC ⇔$m_{AB} = \frac{-1}{ m_{BC} }$

Dicho de otra forma, dos vectores son perpendiculares siempre y cuando sus pendientes son inversas y opuestas. La pendiente de un vector se calcula dividiendo su coordenada y entre su coordenada x, así que:

$m_{AB} = \frac{-5}{a-2} \\ \\ m_{BC} = \frac{2}{5-a}$

Ahora debemos utilizar la condición de perpendicularidad.
$m_{AB} = \frac{-1}{ m_{BC} }\\ \\ \left \{ {{m_{AB} = \frac{-5}{a-2}} \atop {m_{BC} = \frac{2}{5-a}}} \right. \\ \\ \\ \\ \frac{-5}{a-2}= \frac{-1}{ \frac{2}{5-a}}} \\ \\ \frac{-5}{a-2}= \frac{-(5-a)}{ 2}} \\ \\ 2*(-5)=-(5-a)(a-2) \\ \\ -10=(-5+a)(a-2) \\ \\ -10=-5a^2+10+a^2-2a \\ \\ -10=-4a^2-2a+10 \\ \\ 4a^2+2a-20=0 \\ \\ 2a^2+a-10=0 \\ \\ \\ a= \frac{-1\pm \sqrt{1-4*2*(-10)} }{2*2}$

$a= \frac{-1\pm \sqrt{1+80} }{4} \\ \\ a= \frac{-1\pm9}{4} \left \{ {{a=2} \atop {a= \frac{-10}{4}=\frac{-5}{2} }} \right.$


Obtenemos dos posibles resultados para el valor de a. Representarlos puntos A, B y C te ayudará a entenderlo mejor. Si tomamos como solución a=2, el ángulo recto está en el vértice B.

Si tomamos como solución a=-5/2, el ángulo recto está en el vértice A, con lo cual es la solución que estábamos buscando.