Question

Los puntos (-1, 5) y (3,-2) son dos de los vértices de un triángulo equilátero. Determine las coordenadas del tercer vértice, (dos soluciones) ​

Answer 1

Primero sacas la distancia entre los puntos

$d=\sqrt{(-1-3)^2+(5-(-2))\²}\\\\d=\sqrt{65}$

Luego, al ser equilátero, sacas el punto restante con el dato anterior

$d=\sqrt{(x-(-1))\²+(y-5)\²}\qquad\quad d=\sqrt{(x-3)\²+(y-(-2))\²}\\\\\sqrt{65}=\sqrt{(x+1)\²+(y-5)\²}\qquad\quad 65=\sqrt{(x-3)\²+(y+2)\²}$

$x=\sqrt{65-(y-5)\²}-1\qquad\qquad\quad x=\sqrt{65-(y+2)\²}+3\\\\\sqrt{65-(y-5)\²}+1=\sqrt{65-(y+2)\²}+3\\\\y_1=\frac{3}{2}-2\sqrt3\qquad\qquad y_2=\frac{3}{2}+2\sqrt3$

$y=\sqrt{65-(x+1)\²}+5\qquad\qquad\quad y=\sqrt{65-(x-3)\²}-2\\\\\sqrt{65-(x+1)\²}+5=\sqrt{65-(x-3)\²}-2\\\\x_1=1-\frac{7}{2}\sqrt3\qquad\qquad x_2=1+\frac{7}{2}\sqrt3$

Respuesta:

$P_1=(1+\frac{7}{2}\sqrt3;\frac{3}{3}+2\sqrt3)\\\\P_2=(1-\frac{7}{2}\sqrt3;\frac{3}{3}-2\sqrt3)$