Question

Los numeros desde el 1 hasta 2009 se escriben consecutivamente en la pizarra .en una primera pasada se borran el primer numero escrito, el tercero, el quinto y asi sucesivamente hasta borrar 2009.en una segunda pasada se aplica el mismo procedimiento a los numeros que quedaron , borrando el primero de ellos ,el tercero el quinto y asi sucesivamente . Estos se repite mientras queden numeros en la pizarra ¿en que pasada se elimina el 1728?¿cual es el ultimo numero borrando y en que pasada se elimina?

Answer 1

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,...,2009 \\[2pt] \text{En la primera pasada se borran todos los impares 1 , 3 , 5 ,7,...,2009}\\ \text{quedando \'unicamente los pares , m\'ultiplos de 2: } \\[6pt] 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,...,2008 \\[6pt] \text{En la segunda pasada se borran los de lugar impar que son : 2,6,10,14,}\\\text{,18,... , quedando los m\'ultiplos de 4 :} \\[6pt] 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...,2008$

$\text{En la tercera pasada se borran 4,12,20,28,36,44,....quedando los}\\ \text{m\'ultiplos de 8 :}\\[6pt] 8,16,24,32,40,48,...,2008$

$\text{Esto se repite y en cada pasada los n\'umeros que sobreviven son }\\ \text{m\'ultiplos de 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , 1024.} \\[2pt] \text{Se puede asociar de la siguiente forma :} \\[2pt] \text{Despu\'es de : } \\[2pt] \text{pasada 1 sobreviven m\'ultiplos de 2}=2^1 \\ \text{pasada 2 sobreviven m\'ultiplos de 4}=2^2 \\ \text{pasada 3 sobreviven m\'ultiplos de 8}=2^3 \\ \text{pasada 4 sobreviven m\'ultiplos de 16}=2^4 \\ \text{y as\'i sucesivamente} .$

$\text{Como } 1728 =64\times 27\text{ es m\'ultiplo de 64}=2^6 \text{ sobrevive a la sexta pasada }\\ \text{pero 1728 no es m\'ultiplo de 128}=2^7 \text{ por lo tanto no sobrevive la s\'eptima}\\ \text{pasada y es justamente en esta pasada que se borra.}$

$\text{El \'ultimo n\'umero en ser borrado debe ser un m\'ultiplo de una potencia}\\ \text{de 2 , el m\'aximo pero menor a 2009 , entonces debe ser m\'ultiplo de}\\ \text{1024}=2^{10}\\[2pt] \text{Justamente 1024 es el \'unico m\'ultiplo de 1024 menor a 2009 , ya que }\\ \text{el siguiente m\'ultiplo ser\'ia 2048 que se pasa de 2009.} \\[2pt] \text{El \'ultimo en ser borrado es 1024}$

$\text{Como }1024=1024\times 1 \text{ es m\'ultiplo de 1024}=2^{10} \text{ sobrevive a la pasada }\\ \text{n\'umero 10 y es borrado en la pasada n\'umero 11}$

Answer 2

El número 1728 se elimina en la segunda pasada

En la primera pasada ese elimina el número 1, 3, 5, 7, 9,... Todos los números impares que se escriben de la forma 1 + 2k donde k es un entero mayor o igual a cero, hasta el 2009 = 1 + 2*1004 (hasta k igual a 1004)

En la segunda pasada se borran los números 2, 6, 10, 14, 18, 22,.... que son los números que se escriben como 2 + 4*k, donde k es un entero, terminando en 2006 = 2 + 501*4 (k igual a 501)

Ahora 1728 = 2 + 214*4, por lo tanto se elimina en la segunda pasada

Puedes visitar: https://brainly.lat/tarea/41373394