Question

los lados de un triangulo miden 4; 5 y 6 ¿cuanto hay que disminuir a cada lado para que el nuevo triangulo sea rectangulo?

Answer 1

Se debe disminuir una unidad a cada lado para obtener un triángulo rectángulo

Se tiene un triángulo cuyos lados miden 4, 5 y 6 unidades

Se desea saber cuánto hay que disminuir a cada lado para que el nuevo triángulo sea rectángulo.

Solución

$\Large \boxed{\begin{minipage}{300} Se debe disminuir cada lado una unidad y ser\'a un \textbf {tri\'angulo rect\'angulo}. \end{minipage}}$

Demostraremos lo aseverado por medio del Teorema de Pitágoras

¿De qué se trata del teorema de Pitágoras?

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos hallar el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.  Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Luego al haber disminuido cada lado en una unidad, los catetos miden 3 y 4 unidades y la hipotenusa 5 unidades.

Verificación por Pitágoras

$\large\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = c^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { 3^{2} \ + \ 4^{2} = 5^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { 9 \ + \ 16 = 25 }}$

$\large\boxed {\bold {25 = 25 }}$

Luego el nuevo triángulo cuyos lados (catetos) miden 3 y 4 unidades respectivamente y su lado mayor (hipotenusa) mide 5 unidades

ES UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El nuevo triángulo generado además de ser rectángulo, es dentro de ellos lo que se conoce como triángulo notable

Conociendo los triángulos notables

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados).

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. Donde k es siempre una constante.