Question

Los lados de un triangulo miden 18 cm 16 cm y 9 cm respectivamente. si restamos una misma cantidad a los tres lados, obtenemos un triangulo rectangulo.¿ que cantidad es esa?

Answer 1

$\text{Al restar una cantidad }x \text{ se obtiene :}\\ 9-x \ \ , \ \ 16-x \ \ , \ \ 18-x\\ \text{donde el mayor es } \ 18-x \ \text{ que ser\'ia la hipotenusa , los otros restantes}\\ \text{los catetos.}$

$\text{Ya que es un tri\'angulo rect\'angulo se aplica Teorema de Pit\'agoras.}\\[4pt] (9-x)^2+(16-x)^2=(18-x)^2 \\[4pt] \text{Se opera usando \ }(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\[4pt] 81-18x+x^2+256-32x+x^2=324-36x+x^2 \\[4pt] 2x^2-50x+337=324-36x+x^2 \\[4pt] 2x^2-x^2-50x+36x+337-324=0 \\[4pt] x^2-14x+13=0$

$\text{Factorizando :}\\[4pt] (x-13)(x-1)=0 \\[4pt] \Rightarrow \ x-13=0 \ \ \vee \ \ x-1=0 \\[4pt] \Rightarrow \ x=13 \ \ \vee \ \ x=1$

$\text{Se descarta la soluci\'on } \ x=13 \ \text{ya que un lado ser\'ia } \\ 9-x=9-13=-4 \ , \text{un lado no puede ser negativo .}\\ \text{Entonces la soluci\'on es } \ x=1 \\[4pt] \text{Los lados del tri\'angulo rect\'angulo son :}\\ 9-1=8 \\ 16-1=15\\ 18-1=17$

$\text{Se observa que cumple con el teorema de Pit\'agoras:}\\[2pt] 8^2+15^2=17^2 \\ 64+225=289\\ \hspace*{0.76cm}289=289$

$\text{Por lo tanto la cantidad que se quita es } \ 1 \ cm \ \ \leftarrow \ Respuesta.$