Question

Los lados de un triangulo hacen 11, 10 y 3 cm . Que misma cantidad se tiene que sumar a cada uno de los lados para que resulte un triangulo rectángulo?

Answer 1

Respuesta:

se debe sumar 2 a cada uno de los lados

Explicación paso a paso:

vamos a considerar que el lado mayor corresponde a la hipotenusa del triangulo, entonces:

$hipotenusa^2=cateto1^2+cateto2^2$

$h^2=c1^2+c2^2$

sea x el numero que se debe sumar a todos los lados para obtener un triangulo rectangulo, entonces nuestra expresion anterior se convierte en:

$(h+x)^2=(c1+x)^2+(c2+x)^2$

reemplazando los valores dados tenemos:

$(11+x)^2=(10+x)^2+(3+x)^2$

vamos a resolver para poder despejar x:

$(11+x)^2=(10+x)^2+(3+x)^2$

$121+22x+x^2=100+20x+x^2+9+6x+x^2$

simplificando:

$121+22x+x^2=109+26x+2x^2$

$121=109+26x+2x^2-22x-x^2$

$121-109=4x+x^2$

$12=4x+x^2$

reordenando se tiene:

$x^2+4x-12=0$

se obtiene una ecuación de segundo grado cuya solución es:

$(x+a)(x+b)=0$

vamos a buscar 2 números a y b, cuya suma o resta sea 4 y cuyo producto sea -12

los números son

a=6

b=-2

reemplazando se tiene:

$(x+6)(x-2)=0$

para saber los valores de x que satisfacen la ecuación, igualaremos los factores a cero:

$x_1+6=0\\x_1=-6$

y

$x_2-2=0\\x_2=2$

como se debe sumar el numero, solo se aceptara el valor positivo de x, por tanto, el valor que se debe sumar a cada lado es 2: (al usar el -6 saldrá un cateto de valor negativo, por tanto se descarta)

Para la hipotenusa:

$hipotenusa=11+x\\hipotenusa=11+2\\hipotenusa=13$

para el cateto1:

$cateto1=10+x\\cateto1=10+2\\cateto1=12$

para el cateto2:

$cateto2=3+x\\cateto2=3+2\\cateto1=5$

Answer 2

Sea x la cantidad a sumar. El lado de 11 es el que corresponderá con la hipotenusa.

(11 + x)² = (10 + x)² + (3 + x)²; quitamos paréntesis.

121 + 22 x + x² = 100 + 20 x + x² + 9 + 6 x + x²

Reducimos términos semejantes.

x² + 4 x - 12 = 0

Ecuación de segundo grado.

Sus raíces son 2 y - 6; descartamos - 6

Hipotenusa: 11 + 2 = 13

Cateto mayor: 10 + 2 = 12

Cateto menor: 3 + 2 = 5

Verificamos.

13² = 12² + 5²

169 = 144 + 25 = 169

Mateo.