Question

Los lados AB y BC de un triángulo ABC tienen longitudes de 8 y 9 cm. Respectivamente. Una semicircunferencia de radio 6cm. Es tangente a AB y BC, teniendo su diámetro sobre AC. Halla el área del triángulo.

Answer 1

Respuesta:

Área del triángulo ABC = $36cm^{2}$

Explicación paso a paso:

En la imagen adjunta observas el triángulo ABC, y sus lados AB=8cm y BC=9cm. Igualmente tenemos el lado AC=12 cm puesto que es el diámetro de la semicircunferencia tangente a AB y BC, cuyo radio es 6 cm (Diámetro es 2r)

Para calcular el área, necesitamos conocer la altura "h" que corresponde al segmento BD que es perpendicular a la base AC.

Al trazar la altura "h", se forman los triángulos rectángulos ADB y BDC que comparten la misma "h" o altura (línea vertical punteada naranja).

En el triángulo ADB, la hipotenusa es el lado AB que mide 8 cm; uno de los catetos es la altura "h" o segmento BD, y el otro cateto es el segmento AD al cual hemos designado con la letra X

En el triángulo BDC, la hipotenusa es el lado BC que mide 9 cm; uno de los catetos es la altura "h" o segmento BD, y el otro cateto es el segmento DC al cual hemos designado como $12-x$ puesto que todo el segmento AC mide 12 cm por ser el diámetro de la semicircunferencia, pero una parte de dicho segmento, mide X, que corresponde a AD

Aplicamos el T de Pitágoras en el triángulo BDC:

$9^{2}=h^{2}+(12-x)^{2}$ ; de ahí despejamos $h^{2}=9^{2}-(12-x)^{2}$

Aplicamos el T de Pitágoras en el triángulo ADB

$8^{2}=h^{2}+x^{2}$ ; de ahí despejamos $h^{2}=8^{2}-x^{2}$

Tenemos dos expresiones que son iguales a $h^{2}$ ; por tanto, podemos establecer una igualdad entre ellas:

$9^{2}-(12-x)^{2}=8^{2}-x^{2}$

Tenemos que resolver el binomio al cuadrado (resta) que está en el lado izquierdo de la igualdad:

$(12-x)^{2}=144-24x+x^{2}$

Incluimos ese desarrollo en la igualdad:

$9^{2}-(144-24x+x^{2})=8^{2}-x^{2}$

Desarrollamos:

$81-144+24x-x^{2}=64-x^{2}$

Eliminamos $x^{2}$ que está en ambos lados con igual signo

$-63+24x=64$ ;  de donde: $24x=64+63$;  de donde $24x=127$ ; por tanto:

$x=127/24$ ;  $x=5.29cm$

Entonces, el lado AD es igual a 5.29 cm; por tanto el lado DC será igual a  6.71 cm puesto que era igual a 12-x  (12-5.29=6.71)

Ahora que sabemos las medidas que desconocíamos de los catetos, podemos despejar "h" en cualquiera de los triángulos:

$(8cm)^{2}=h^{2}+(5.29cm)^{2}$ ;  de donde: $h^{2}=64cm^{2}-27.98cm^{2}$

$h^{2}=36cm^{2}$ ; de donde: $h=\sqrt{36cm^{2}}$ ;   $h=6cm$

Ahora que conocemos la altura, podemos calcular el área solicitada puesto que la base mide 12cm

$A=\frac{b*h}{2}=\frac{12cm*6cm}{2}=\frac{72cm^{2}}{2}=36cm^{2}$