Question

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos son (2.3) y (-4.5). Hallar si ecuación
Es de urge xfa

Answer 1

La ecuación solicitada está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x+1)^2+(y-4)^2=10 }}$

Dados los extremos del diámetro de una circunferencia que son los puntos:

$\bold {A \ (2,3) }$    $\bold {B \ (-4,5) }$

Se pide hallar la ecuación del círculo

Solución

El diámetro es cualquier segmento de línea recta que pasa por el centro del círculo y cuyos puntos finales están en la circunferencia del círculo.

Los extremos dados del diámetro son:

$\bold {A \ (2,3) }$    $\bold {B \ (-4,5) }$

Luego el centro del círculo será el centro del diámetro

Por lo tanto para determinar el centro del círculo debemos hallar el punto medio entre los puntos dados que son los extremos del diámetro

Hallamos el centro del círculo

Empleamos la fórmula del punto medio para hallar el punto medio del diámetro, el cual es el centro del círculo

$\large\boxed{\bold { M= \left(\frac{x_{1} + x_{2} }{2} , \frac{y_{1} + y_{2} }{2} \right)}}$

Donde lo denotaremos como C dado que es el centro

Reemplazamos los valores para $(x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )$

$\boxed{\bold { C= \left(\frac{2 - 4 }{2} , \frac{3 + 5 }{2} \right)}}$

Factorizamos 2 a partir de 2

$\boxed{\bold { C= \left(\frac{2\ . \ 1 - 4 }{2} , \frac{3 + 5 }{2} \right)}}$

Factorizamos 2 a partir de -4

$\boxed{\bold { C= \left(\frac{2\ . \ 1 + 2 \ . \ -2 }{2} , \frac{3 + 5 }{2} \right)}}$

Factorizamos 2 a partir de 2 · 1 + 2 · -2

$\boxed{\bold { C= \left(\frac{2\ . \ (1 - 2) }{2} , \frac{3 + 5 }{2} \right)}}$

Cancelamos el factor común

$\boxed{\bold { C= \left(\frac{ (1 - 2) }{1} , \frac{3 + 5 }{2} \right)}}$

Quitamos el denominador para 1 - 2

$\boxed{\bold { C= \left(1-2 , \frac{3 + 5 }{2} \right)}}$

Restamos 2 de 1 y también sumamos 3 y 5

$\boxed{\bold { C= \left(-1 , \frac{8 }{2} \right)}}$

Dividimos 8 entre 2

$\large\boxed{\bold { C= (-1 , 4)}}$

El centro del círculo se encuentra en el punto C (-1,4)

Determinamos el radio del círculo

El radio es cualquier segmento que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualquiera de la circunferencia

Para el caso del ejercicio el radio "r" será la distancia entre el centro y un punto dado del diámetro

$\bold {C \ (-1,4) }$    $\bold {A \ (2,3) }$    

Empleamos la fórmula de la distancia para determinar la distancia entre  dos puntos

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Sustituimos los valores de los puntos en la fórmula de la distancia para hallar el radio

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(2 - (-1) )^{2} +(3 -4 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(2 +1 )^{2} +(3 -4 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{3^{2} +(-1 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { radio = \sqrt{9 +1 } } }$

$\large\boxed{ \bold { radio = \sqrt{10 } } }$

El radio del círculo es √10

Hallamos la ecuación del círculo

La ecuación canónica del círculo está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h,k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

Para este caso reemplazamos los valores conocidos de:

$\bold {C \ (-1,4) }$

$\bold { r = \sqrt{10 } }$

$\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

$\boxed{ \bold { (x-(-1))^2+(y-(4))^2=(\sqrt{10} )^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x+1)^2+(y-4)^2=10 }}$

Habiendo hallado la ecuación del círculo dado

Se adjunta gráfico